初二几何中常用辅助线的添加.doc

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一. 教学内容：
　　寒假专题——初二几何中常用辅助线的添加
 
【典型例题】
（一）添加辅助线构造全等三角形
  例1. 已知：AB∥CD，AD∥BC。
       求证：AB＝CD
       分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。
       在本题中，我们可通过连结AC，构造全等三角形来证明线段相等。
       证明：连结AC
       ∵AB∥CD，AD∥BC
       ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
       在△ABC和△CDA中
       
       ∴△ABC≌△CDA（ASA）
       ∴AB＝CD
 
（二）截长补短法引辅助线
       当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。
       通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。
  例2. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。
       求证：AB＝AC＋CD
       证法一：（补短法）
       延长AC至点F，使得AF＝AB
       在△ABD和△AFD中
       
       ∴△ABD≌△AFD（SAS）
       ∴∠B＝∠F
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       ∵∠ACB＝2∠B
       ∴∠ACB＝2∠F
       而∠ACB＝∠F＋∠FDC
       ∴∠F＝∠FDC
       ∴CD＝CF
       而AF＝AC＋CF
       ∴AF＝AC＋CD
       ∴AB＝AC＋CD
       证法二：（截长法）
       在AB上截取AE＝AC，连结DE
       在△AED和△ACD中
       
       ∴△AED≌△ACD（SAS）
       
       
 
  例3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。
       分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。
       证明：分别延长BA、CE交于点F
       ∵BE⊥CF
       ∴∠BEF＝∠BEC＝90°
       在△BEF和△BEC中
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       ∴△BEF≌△BEC（ASA）
       
       ∵∠BAC＝90°，BE⊥CF
       ∴∠BAC＝∠CAF＝90°，∠1＋∠BDA＝90°，∠1＋∠BFC＝90°
       ∴∠BDA＝∠BFC