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数值分析最佳习题(含答案).doc

文档分类：高等教育 | 页数：约43页举报非法文档有奖

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第一章绪论
姓名学号班级 1 假设误差限为,？〔有效数字的计算〕
解：，
故具有3位有效数字。
2 具有4位有效数字的近似值是多少？〔有效数字的计算〕
解：，欲使其近似值具有4位有效数字，必需
，，即
3 ，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？〔有效数字的计算〕
解：，，而，
故至少具有2位有效数字。
故至少具有2位有效数字。
4 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？〔误差的计算〕
解：，那么误差为
那么相对误差为
5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。〔误差限的计算〕
解：
绝对误差限为
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相对误差限为
6 设的相对误差为,求的相对误差。〔函数误差的计算〕
解：，
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？〔函数误差的计算〕
解：球体积为，
欲使，必须。
8 设，求证：
〔1〕
〔2〕利用〔1〕中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。〔计算方法的比拟选择〕
解：
如果初始误差为，假设是向前递推，有
可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了。
如果是向后递推，其误差为
可见，初始误差的绝对值被逐步减少了。
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第二章插值法
姓名学号班级 1 ，求的拉氏插值多项式。〔拉格朗日插值〕
解法一〔待定系数法〕：设，由插值条件，有
解得：。
故。
解法二〔基函数法〕：由插值条件，有
2 ，用线性插值求的近似值。〔拉格朗日线性插值〕
解：由插值节点与被插函数，可知，，，其线性插值函数为
的近似值为。
3 假设为互异节点，且有
试证明。〔拉格朗日插值基函数的性质〕
解：考虑辅助函数，其中，，。
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是次数不超过的多项式，在节点〔〕处，有
这说明，有n+1个互异实根。
故，从而对于任意的均成立。
4 ，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。〔拉格朗日二次插值〕
解：由插值条件，其抛物线插值函数为
将代入，计算可得：。
其余项为：其中，
故误差的上界为：
。
5 用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比拟。〔拉格朗日二次插值〕
解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为
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绝对误差为：
相对误差为：
余项为：
，其中，
其余项的上界为：
比拟可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。
6 函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。〔均差的计算〕
解：采用列表法来计算各阶均差，有
x
y
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
0
6
1
10
4
3
46
18
14/3
4
82
36
6
1/3
6
212
65
29/3
11/15
1/15
从表中可查得：。
x
y
一阶均差
二阶均差
4
82
1
10
72/3
3
46
18
6
故。其实，根据均差的对称性，，该值在第一个表中就可以查到。
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7 设求之值，其中，而节点互异。〔均差的计算〕
解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有
而，故。
8 如下函数值表
0
1
2
4
1
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。〔牛顿插值多项式的构造〕
解：
先构造均差表
x

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