初中数学竞赛试题.doc

初中数学竞赛试题
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１、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被(　 )整除.
A． １１１ Ｂ. 1000ﻩＣ。　10０1ﻩＤ． 1111
解:依题意设六位数为,则=a×1０5＋b×1０4＋c×１03+a×10２+b×10+c=ａ×1０2(103+1）＋ｂ×10(103+１）+c（103＋1）＝(ａ×１0３+ｂ×10+c）(１０3+1）＝100１（a×１03+b×1０+c）,而ａ×1０3+b×１0+c是整数,
方法二:代入法
2、若,则S的整数部分是_＿＿_＿____＿_＿＿＿＿_____
解:因19８１、１９８2……2001均大于1980,所以,又1980、1９81……2００0均小于2001,所以，从而知S的整数部分为９0。
3、设有编号为1、2、３……10０的１00盏电灯,各有接线开关控制着,开始时，它们都是关闭状态,现有1０0个学生，第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个(n≤1００)学生进来,凡号码是ｎ的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被１00整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后,请问哪些灯还亮着.
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解:首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、４2、52、62、72、８２、92、1０2共10盏灯是亮的.
４、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 ( 　)
A。 m(1+ａ%)(１—b%)元 B。 m·a%(1-ｂ％)元
　Ｃ． ｍ(1+a%）ｂ%元ﻩﻩD. m（1+ａ％ｂ％)元
解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m(1＋a％)元,因调整后的零售价为原零售价的ｂ％,所以调价后每件衬衣的零售价为ｍ(１+a%）ｂ%元。
应选Ｃ
5、如果a、b、ｃ是非零实数，且a+ｂ＋c=0，那么的所有可能的值为ﻩ ﻩ(　 )
　A。 ０ﻩB．　１或-１ﻩC. ２或-２ﻩD。 ０或—２
解:由已知,a，ｂ,c为两正一负或两负一正。
①当a，b,c为两正一负时：
;
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②当a,b,ｃ为两负一正时：
由①②知所有可能的值为0．
应选A
c
A
B
C
a
b
6、在△AＢＣ中，a、ｂ、ｃ分别为角A、Ｂ、Ｃ的对边，若∠B=60°,则的值为ﻩﻩﻩﻩ(　　)
A． B.
Ｃ。 １ﻩＤ.　
解：过A点作AＤ⊥CＤ于D,在Rt△BＤＡ中,则于∠Ｂ＝６0°，所以DＢ=，AＤ=。在Rｔ△ＡＤＣ中，ＤＣ2=AC2－AD2，所以有(a-）２=b2—C２，整理得a２＋c2=b2＋ac,从而有
应选Ｃ
7、设a<b<0,a2+b２＝４ａb,则的值为ﻩ ﻩ( 　）
　A.　ﻩB。 ﻩC。 2 D． ３
解:因为（a+b)2=６ab,（a—b)２＝2aｂ,由于a〈ｂ〈0,得，故。
　　应选A
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＝19９9ｘ+2000，ｂ=19９9x＋2００1,c=1９99x＋２０02,则多项式a2+ｂ2＋c2-aｂ—bc—cａ的值为ﻩﻩ ﻩ(　 )
A． 0ﻩB. １ﻩC. ２ﻩD.　3
9、已知aｂｃ≠0，且ａ＋ｂ+c＝０,则代数式的值是ﻩ（ )
　A.　3 Ｂ。 2 C．　１ﻩD. 0
10、某商品的标价比成本高p％，当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则ｄ可用ｐ表示为____＿
解:设该商品的成本为a,则有a(1+p％)(1—ｄ％）=a,解得
1１、已知实数z、ｙ、z满足x+ｙ=５及z２=xｙ＋ｙ—９，则x+2ｙ+3z＝＿___＿＿___＿__＿__
解：由已知条件知（x＋1)+y＝6,(x+1)·y=ｚ2＋９,所以ｘ+1,y是t2-6ｔ+z2+9＝0的两个实根,方程有实数解,则△=（—6）2-4（z2＋9）＝－4z２≥０，从而知z＝０，解方程得ｘ+1=3,ｙ=+2y+３z=8
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(x为正整数）天中观察到:①有7个是雨天；②有５个下午是晴天;③有６个上午是晴