初中数学竞赛题汇编代数部分2.doc

初中数学竞赛题汇编代数部分2
初中数学竞赛题汇编代数部分2
初中数学竞赛题汇编代数部分2
初中数学竞赛题汇编
（代数部分2）
江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答
例１:已知ａ2＋ｂ２=6ａb,且a>ｂ>0，求 　 　 。　
解:由已知得 　（a+b）2＝8ab， （a-b)2＝4ａｂ,
所以 　 =２，因a>ｂ＞0,所以a＋b、a-b均为正数，
故 　 ＝ 　　　　。　　 　
例2：计算 　　 　 的值　。 　
解:因 　　 　　　 　　　 　 　 　 　
＝2, 所以 　　 　 　　 　　＝ 　 .
例3:已知 　　 　 　 ，求　 　 　 　
解:由已知得 　2(a+ｂ）２=ａｂ ，即 　　 ＝- 　
所以 　 　 =　 　 　＝ 　　 。 　 　 　
例４:已知 　 　 ， 　 ,求　　 　 ＝？ 　
解:由　 　 　 　　得　 　　 　 ,由 　 　 　 得 　　 ,
所以 　　 = 　 + 　 =1。　　
例5:已知若abｃ=１，求证 　 　　　 　 　 　 　 。
分析:所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子,因而变形比较困难。可以充分利用abc=１,将它们化成同分母。在的分子、分母上同乘c，化成，将的分母中的“1”换成ａｂc得
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，然后再相加即可得证。
证明：∵ abｃ=1　 ∴ 　 　 　　 　 　　
　 = 　 　 　 　 +　 　 　　　= 　 　=1 。
例６:已知bc=ad,求证:ａb(ｃ2—d2）=（a2-b２)cd
证明:因ｂc=ad,所以 　　 　 由比例的性质得
……① 　 　 　 ……② 　……③
　 　 　①×②×③得 　 　 　 　 ，
所以ab(ｃ2－d2）=（ａ2-ｂ２)ｃdﻩ
　 　 　∴aｂ（c２—d2)=(ａ２—b2）cｄﻩ。
例7:已知ｘ＝ｂｙ+cz，ｙ=cz+ａx，z=ａx+by，且x+y+ｚ≠０，．
证明：
证明:解方程组
　 　 (２）+(3)－(１) 得ｙ+ｚ-ｘ＝2ax，所以
所以
　 　　同理可得,,
所以
例8:已知x、y、ｚ满足关系式,
证明:
证明:将已知等式分别乘以x、y、z得
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　 ①
　②
　 　 ③
①+②＋③ 得
　
所以
　　　即：
例9：试用关于（ｘ-1)的各次幂表示多项式.
解：，所以不论取什么数，两边都应相等，据此可设
，代入上式得　 ……①
,代入上式得 　　……②
,代入