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频率分析法
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§5－1 频率特性
一、基本概念
系统的频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应
一个稳定的系统，假设有一个正弦输入信号：
r(t)=Arsin(ωt)
在稳态的情况下，系统的输出信号以及系统所有其他点的信号均是正弦的，则稳态输出可写为：
c(t)=Acsin(ωt+φ)
当保持Ar不变，逐次改变频率ω ，则可以得到一系列稳态输出的振幅Ac及相位差φ，则：
M＝Ac/Ar ——幅频特性
相位差φ——相频特性
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二、求取频率特性的数学方法
ur
uc
ur
以上图所示的RC网络为例进行说明,它的传递函数为：
φ(s)=Uc(s)/Ur(s)=1/Ts+1 (T=RC)
若输入信号为： ur=Arsin(ωt)
则取拉氏变化： Ur(s)＝Arω2/(s2+ ω2)
所以系统的输出为：
动态分量
稳态分量
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ω
0
1/2T
1/T
2/T
3/T
4/T
5/T
∞
1/√1+ ω2+T2
1






0
-arctanωT
0
-°
-45 °
- °
- °
-76 °
- °
-90 °
ω
1/T
2/T
3/T
4/T
5/T
0





1/T
2/T
3/T
4/T
5/T
0
-100
-80
-60
-40
-20
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由上图曲线可知，输入电压频率ω较低时，输出和输入的幅值几乎相等，相角滞后不大；当ω增大时，输出幅值减小，相角滞后增大；ω趋于无穷时，输出幅值为0，相角滞后90°。
函数1/(1+j ωT)完整的描述了网络在正弦输入下的稳态输出电压幅值和相角随正弦输入信号频率ω变化的规律，把1/(1+j ωT)称为网络的平率特性。
因此，对于任何线性定常系统，
φ(j ω)＝φ(s)|s= jω
故 幅频特性M(ω)＝|φ(jω)|
相频特性ψ(ω)＝∠φ(jω)
因此，已知一个系统的微分方程或传递函数，只要将复变量s置换成纯虚变量jω，就可以得到系统频率特性的数学表达式，并依次作出频率特性曲线。
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频率特性、传递函数以及微分方程一样，都表征了系统的运动规律，这也是频率法能够从频率特性出发研究系统的理论依据，它们三者之间的关系如下：
微分方程
频率特性
传递函数
系统或元件
s=d/dt
s=jω
jω=d/dt
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三、频率特性图示法
1、直角坐标图
幅频特性：纵坐标为M；横坐标为ω，线性分度
相频特性：纵坐标为ψ，线性分度；横坐标为ω，线 性分度，的单位是度或者弧度
2、极坐标图
频率特性 φ(j ω)＝|φ(jω)| ∠φ(jω)＝M∠ψ
φ(j ω)可表示成模为M和相角为ψ(反时针方向为正)的矢量。当输入信号的频率从0到∞变化时，模值M和相角ψ也随之变化，因而矢量φ(j ω)的端点在复平面内绘制出一条轨迹，称为极坐标图。
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3、对数坐标图——伯特图()
伯特图包括对数幅频和对数相频两条曲线，是频率法中广泛使用的一组曲线。
对数频率用特性曲线的横坐标表示频率ω，并按对数分度，单位是1/s。
对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性均匀分度，单位是分贝，记dB。对数幅频特性定义如下： L(ω)＝20lgM(ω )
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。
ω
0
1
2
3
ω
lgω
-
0
1
2



1
10
100
十倍频程
十倍频程
对数分度
线性分度
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采用对数