抽象函数奇偶性的判定.doc

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专题一抽象函数奇偶性的判定及应用
探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题
抽象函数的具体模型
在区间
上是增函数且有最小值为 5,那么 在区间
f(x y) f(x) f(y)
f(xy) f(x) f(y)
上是
A. 增函数且最小值为
C. 减函数且最小值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选 B。
例2 •偶函数 在
上是减函数，冋 在
上是增函数还是减函数，并证
f(x y) f(x)f (y)
f(xy) f(x)f(y)
明你的结论。
类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题
分析：如图所示，易知 在
上是增函数，证明如下:
①x R， f(x)满足f(x y) f(x) f(y)，如何证明f (x)为奇函数?
任取
因为
在
上是减函数，所以
②x R， f (x)满足f (xy) f (x) f (y)，如何证明f (x)为偶函数？
类型二：抽象函数证明函数的单调性问题
①若 x R,且 f (x y) f (x) f(y)、f (xy) f (x) f (y)证明其单调性
又 是偶函数，所以
V
从而 ，故 在 上是增函数。

②若 x R, f (x y) f (x) f (y)、f (xy) f (x) f (y)证明其单调性
探究二：函数性质(单调性、奇偶性)定义经典试题
一、判断单调性和奇偶性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数,
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求
与
的关系。
例3.
.若函数
与
的图象关于原点对称，判断：函数
是什么函数。
解:
设
图象上任意一点为 P (
)
与 的图象关于原点对
称，
关于原点的对称点
在
的图象上，
问题迅速获解。
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又
即对于函数定义域上的任意
X都有
，所以
是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性

例4 .已知f(X)对一切
x，y，
满足f (0)
0, f(x y)
f (X)
f (y)，且当x 0时,
f (x) 1，求证：(1) X
:0时，
0 f (x)
1 ； (2) f (x)在R上为减函数。
证明： 对一切X，
y R有
f(x y)
f (X) f (y)。
且 f (0) 0，令 x
y 0，
得 f(0)