矩阵初等变换及其应用技术.doc

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在科学技术与经济管理领域，线性方程组是许多问题的数学模型，因此，线性方程组的求解问题十
分重要，本章将研究更一般的线性方程组的求解问题。
一、矩阵的初等变换
用消元法求解简单线性方程组时，其消元步骤是对方程组施以下列变换：
(i) 对调某两个方程在方程组中的位置；
(ii) 以数「一 I乘某一方程的两端；
(iii) 把某一方程的两端乘以数■'■「后加到另一方程的两端.
这些变换称为线性方程组的初等变换，由此引岀矩阵的初等行变换
定义6下面三种变换称为矩阵的 初等行变换：
(i) 对调两行(对调人J两行,记作卷?);
(ii) 以数 乘某一行中的所有元素(第i行乘R,记作心況")；
(iii) 把某一行所有元素的 '倍加到另一行对应的元素上去(第」行的'•倍加到第L行上，记作 Z).
把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义.
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换.
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵E ,就称矩阵A与E等价,记作A〜E
的逆变换就是其
本身；变换' '
的逆变换为
(或记作*")；变换^+烙
J的逆变换为屮0飙(或记作
显然,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换 ：变换
矩阵的等价关系满足以下三个性质:
(i) 自反性：A~A ;
(ii) 对称性：若A~E，则E~A ;
(iii) 传递性：若亠二-■，匚…二，则.「化.
利用等价关系可以将矩阵分类，，具有等价关系的矩阵所 对应的方程组有相同的解.
通过对矩阵施行初等行变化，可以将矩阵化简，例如
f 1 -2 -7 0 2 *
-2 4 2 6-6
2-1023
;3 3 3 3 4^
- 2
-1
0
y x 、
0
0
0
6
0
3
2
2
9
6
3
2、
-1
5 - 2
0 3
0 9
<0 0
-1 0 2^
2 2-1
6 3 ~2
0 6 -2；
f] -2 -1 0 "
0 3 2 2 -1
0 0 0 -3 1
卫 0 0 6 _2」
rl -2 -1 0 2、
o"*b 2 ^2 一 1
0 0 0 ^3 1
I
^0 0 0 P …Q；
上式中最后一个矩阵称为 行阶梯形矩阵，它的特点是：可以画岀一条阶梯线，每个阶梯只有一行, 阶梯线下方的元素全是零，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零，阶梯数为非零行的行数 继续施行行变换，还可以化为更简单的形式：
^1 -2 -1 0 2
0^1 2 ?二
[…-3.-3 3
1
0 0 0 ：1 一一
二 3 卫 0 0 0 0 ?
(
0
1
1
-0
3
9
1
2 、
1
o :
1
一 0
3 、
*
3
r--"l
9
1
■—1
r+2r
1
0
0
0 1
1 l!
3
0
0 0
o丿
上式中最后一个行阶梯矩阵具有下述特点：非零行向量的第一个元素为 1,且含这些元素的列的其他
.
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 ，它有着广泛的应用，任意一个：：〔2矩阵A经过初等行
变换都可化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵
二、初等方阵
定义2由单位阵E经过一次初等变换得到的方阵称为 初等方阵.
三种初等变换对应着下列三种初等矩阵：
（i ）对调两行（或对调两列）
把单位阵中第i*j两行对调9）,得初等方阵
<1 >
1
0 … 1
一第炸仪
1
1
1 0
1
•第jfT
（ii ）以数 乘某行（或某列）
以数ie=I〕乘单位阵的第l行（n）‘得初等方阵
超（礼幼=
<1
► 第j行
1
（iii ）以数•：乘某行（列）加到另一行（列）上去
以F乘二的第一行加到第「行上，得初等方阵
E仲 左乘矩阵
用匸阶初等方阵
^11
/T
%
■ 第i行
超融二
・・・
・・..
… ・・・
爲L
•: - %
—► 第j行
■ ■ ■
■ ■ ' ■・・
%
■■■
其结果相当于