矩阵的Jordan标准形特征值与特征向量1定义对阶方阵.doc

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第五讲矩阵的Jordan标准形
特征值与特征向量
1. 定义：对m阶方阵A，若存在数■，及非零向量(列向量) x ,
使得A^ x,则称，为A的特征值，x为A的属于特征值■ 的特征向量。
•特征向量不唯一
*特征向量非零
• ( \ - A)x = 0 有非零解，贝卩 det( ■ I - A) = 0，称
det( I - A)为A的特征多项式。
1 2 2
[例1]A= 2 1 2，求其特征值和特征向量
2 2 1 j
-2
2=0
人—1
丸 - 1 -2
det“I — A)= -2 九—1
-2 2
( 1)2( -5) = 0
2~ -1 3 = 5
属于特征值■- 1的特征向量 (-1 - A)x7
厂1
2 2 2 1
|2 2 2 梓2 卜 0 S +霍+ S = 0
2 2 2存3」
-01
可取基础解系为 X«| = | 0 X2 = | 1
属于一 5的特征向量 (51 - A)x = 0
4 -2 -2 1
-2 4 —2^=0 匕广匕厂鑰
L 2 -2 4 「3
「们
可取基础解系为 x3 = 1
Jj
2. 矩阵的迹与行列式
n
trA =、・ a」」所有对角元素之和
i丄
n n
det A = . ■」 tr A = ' ■」
i£ i £
3. 两个定理
(1) 设A、B分别为m n和n m阶矩阵，贝S
tr( AB)二 tr( BA)
(2) sylvster定理：设A、B分别为m n和n m阶矩阵，则
det( lm - AB)二 m^det( ln - BA)
即: AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同
二、 矩阵对角化的充要条件
定理：n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有 n个线
性无关的特征向量。
［证明］充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量Xi,X2,…，Xn，则
Ax；二 1 i Xj i 二 1,2, ,n
x2 xn l - I 必 2x2 ■ nxn
01
■・・
1 X2
Xn
Xi,X2, ,Xn线性无关，故
P - X X2 Xn l为满秩矩阵，
01
，则有
令'…二
AP 二 P 上
01
必要性：已知存在可逆方阵P，使P，AP=-l二 将P写成列向量P = Pi P2…Pn 1， Pn为n维列向量
Ap1 ap2 APn I- l'1P1 2p2 nPn
可见，叫为A的特征值，P为A的特征向量，
二 A具有n个线性无关的特征向量。
推论：n阶方阵有n个互异的特征值，则必可对角化。（充分条件）
三、Jordan标准形
1. Jordan标准形的存在定理
任何方阵a均可通过某一相似变换化为如下 Jordan标准形:
J 1( 1) 0
J2（》2）
J 4
0 J s （ 2- s）
i 1 0
+
其中Jg）= 心」 称为Jordan块矩阵。入2,…入为A的
1
特征值，可以是多重的。
说明：（1） Ji（ i）中的特征值全为i，但是对于不同的i、j，有可能 ■厂\，即多重特征值可能对应多个 Jordan块矩阵。
（2）Jordan标准形是唯一的，这种唯一性是指：各 Jordan块 矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各 Jordan块矩阵 的位置可以变化。
（又称为’阵）
a11（九）a12（丸） a1n（丸）1
a21（＞） a22（入） a2n （入）
乩1（丸）an2（九）… ann（丸）_
称为■的多项式矩阵，其中矩阵元素aijC ）为，的多项式。
*多项式矩阵的初等变换
初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性的前提下形式上变
得简单。
（1） 互换两行（列）
（2） 以非零常数乘以某行（列） ［这里不能乘以 的多项式或
零，这样有可能改变原来矩阵的秩和属性］
（3） 将某行（列）乘以•的多项式加到另一行（列）
•多项式矩阵的标准形式：采用初等变换可将多项式矩阵化为如下
形式:
di( ) 0
d2(^)
+ .
Ad | dr。)
0
+
.0 0 一
其中，多项式di，是首一多项式(首项系数为
1,即最高幕次项的
系数为 1),且 di# )d2(几)、d2(丸)d3U )、…、dr」。)drO )，即 d")
是dz ■的因式
(1) 多项式矩阵的标准形式