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空间向量及其运算.doc


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第44课时空间向量及其运算
编者:刘智娟 审核:陈彩余 班级
第一部分预****案 学号
一、 学****目标 姓名
1. 和平面向量类比理解空间向量的概念、运算;
2. 掌握空间向量的共线、垂直的条件,理解空间向量基本定理和数量积.
二、 知识回顾
1. 空间向量的有关概念
(1) 空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间向量.
(2) 相等向量:方向且模的向量.
⑶共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量.
⑷共面向量:的向量.
2. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1) 共线向量定理
对空间任意两个向量 a , b(a丰0), b与a共线的充要条件是存在实数 推论如图所示,点P在I上的充要条件是
OP = OA+ ta①其中a叫直线I的方向向量,t € r,在I上取AB = a ,
则①可化为 O)p= O)A+tAB或O)p =(1 — t)O)A+ tO)B.
⑵共面向量定理的向量表达式: p= xa + yb,其中x,y € R, a, b为不共线向量,
推论的表达式为 MP = xMlA + yMB或对空间任意一点 0,有O>P = O)M + xMlA + yMB或 0)P= xOM + yOA + zOB,其中 x+ y+ z= .
(3) 空间向量基本定理
如果三个向量©,e2,®不共面,那么对空间任一向量 p ,存在唯一的有序实数组
(x,y,z),使得p = xe + ye2 + ze3,把{ e, e2, e3}叫做空间的一个基底.
3. 空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
① 两向量的夹角
已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA= a,OB= b,则/ aob叫做向 量a与b的夹角,记作〈a , b >,其范围是ow〈 a , b > < n若〈a , b > =寸,则
称a与b互相垂直,记作 a丄b
② 两向量的数量积
已知空间两个非零向量 a , b,则|a||b |cos〈 a, b >叫做向量a, b的数量积,记作
a b,即 a b = |a||b |cos〈 a , b >.
(2) 空间向量数量积的运算律
①结合律:(za) b = Xa b);②交换律:a b = b a ;③分配律:a ( b + c) = a b
+ a c
4. 空间向量的坐标表示及应用
(1) 数量积的坐标运算
―F- —► —9- —P-
设 a = (ai, a2, a3), b = (bi, b2, b3),贝U a b =
(2) 共线与垂直的坐标表示
—► —►
设 a = (ai, a2, a3), b = (bi, b, b3),
—¥■ —■> —F- —F-
则 a II b ? a = ? ai =入 1, a2=入 2, a3=入 b (入€ R),
a 丄 b ? a b = 0? aibj+ a2b2 + a3b3= 0( a , b 均为非零向量).
⑶模、夹角和距离公式
2 2 2 设 a = (ai, a

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  • 上传人shijijielong001
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  • 时间2021-10-26