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偏微分方程及其在图像去噪和分割中的应用
重庆大学博士学位论文
学生姓名:辛 巧
指导教师:穆春来 教 授
专 业:计算数学
学科门类:理 学
重庆大学数学与统计学院
二 一一年九月
Partial D ifferential Equation and Its
A pplications in Im age D enoising and
Segm entation
A Thesis Subm itted to C hongqing U niversity
in Partial Fulfillm ent of the Requirem ent for the
Degree of D octor of Science
By
Q iao X in
Supervised by Prof. C hunlai M u
M ajor: Com putational M athem atics
C ollege of M athem atics and Statistics of
Chongqing U niversity, Chongqing, China
Septem ber, 2011
摘 要
图像去噪和分割是图像处理和计算机视觉及其应用的最基本问题。在过去的几
十年, 基于常微分方程 、 偏微分方程的图像处理方法的研究变成了一个重要问题 。
本文的内容 分为三个部分, 第一部分主要讨 论主曲 率流驱 动的图像去噪 模型, 第
二部分讨论基于区域的活动轮廓图像分割模型, 最后一部分讨论图上带有吸收项
的 解的熄灭和正性 。本人的主要工作为第二章至第六章, 其详细的内
容如下 :
在本文的第一部分 第二章 , 我们考虑最大 、 最小主曲率的加权平均作为扩散
系数消去加性高斯噪声的图像去噪模型, 该方法的主要优点是可以保持重要的图
像特征, 并 且具有稳定和快 速的数值算法 。 此外, 与高斯 曲率驱动的扩 散模型相
比, 在信噪比和去噪图像的光滑性方面具有一定的优势 。
本文的第三部分为第三章至第五章 。首先, 在第三章, 我们提出了带有限制条
件的 活动轮廓模型用于二值图像分割问题 。通过增加一个合适的限制条件, 使
得 模型具有全局最优解, 并且水平集函数可以初始化为任意的非零常值函数 。
通过变分原理, 证明了改进的模型在限制的 空间中全局最优解的存在唯一性 。
此外, 我们 也给出了一个有 效的数值算法 。 最后, 我们通 过人工合成图 像 、 自然
图像 医学图像 、 遥感图像 的分割实例, 验证了算法的有效性。
本文的第四章, 我们考虑带有非线性反应项和满足 边界条件的
方程的二值图像分割模型 。通过 不动点定理, 证明了该模型
局部解的存在和唯一性。对于 时, 我们估计了能量∫Ψ 和
∫Ψ 随着时间的变化速率。此外, 我给出了一个有效的数值
算法计算该 局部解 。 最后, 我们通过人工合 成图像 和自然 图像论证了算 法的有效
性, 此外, 对于不同的图像, 我们还给出了该模型与改进的