向量及向量的基本运算.ppt

向量及向量的基本运算
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1）向量的有关概念
①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用
……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： ，或用坐标表示。向量的大小即向量的模（长度），记作| |。
②零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行。<注意与0的区别>
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量):方向相同或相反的向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 。
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2）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 ,则:
向量加法有“三角形法则”（首尾相接） 与“平行四边形法则” （起点相同）
说明：（1） ；
2）向量加法满足交换律与结合律；
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3)向量的减法
① 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量。记作 ,零向量的相反向量仍是零向量。
②向量减法：向量 加上的 相反向量叫做
与 的差，记作： 。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
的作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）
向量减法有“三角形法则”
（必须起点相同 ）
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4)实数与向量的积
①实数λ与向量 的积是一个向量,记作λ ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ）当时 ,λ 的方向与的方向相同；当时 ，λ 的方向与 的方向相反；当时
， ，方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
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5)两个向量共线定理
向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 。
证三点共线方法：
6)平面向量的基本定理
如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ， 使： 其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
推论：如果 是一个平面内的两个不共线向量，
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例1、判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若 则
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同
(6)若 ， ，则 ；
(7)若 ， ，则
(8) 四边形ABCD是平行四边形,则
(9)已知A（3，7），B（5，2），将 平移后可能得到的向量 的坐标为（3,－3）
(10） 的充要条件是 且 ；
错
错
错
错
对
对
错
错
错
错
题型一:基本概念问题
练****1:
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例2、如图平行四边形OADB的对角线OD,AB
相交于点C，线段BC上有一点M满足:
BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,
设
题型二:向量的相互表示
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例3: 已知G是△ABC的重心，求证：
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