数分三习题课第一节.doc

数分三习题课第一节.doc第1节
，外点，边界点:
2
⑵E由满足1 W护+ % v 4的点所组成;
(4) E由所有这样的点3，切所组成，其中©和p都是有理数.
(2)凡满足IV护+? <4的点(父,切是E的内点；凡满足护+ ? V 1或x2 + 〉4的点y)是E的外点;
4 4 4
凡满足护+ —= 1或护+ — = 4的点(e,切是E的边界点.
4 4
(4)由有理数及无理数的稠密性，得平面上所有点仗,切都是E的边界点.
注(4)中，要查清点的分类(实变函数中有具体分类)
第2节
：
(5) lim (x2 + y2)e~^x+y^ x—*+oo
!/—»+oo
⑸因了=°咕霖厂°
则 lim (x2 + /)0-(工+") = lim X—*4-00 X—»十8I/—*+oo y—»-j-8
(①+讷2 _ 2兰 y e-(x+y) ex ey
=0
(0,0)的二次极限和二重极限:
1 1
⑵ /(x,S/) = (x + y).-
⑵ HO C \f(x,y)\ W |龙 + 妙| W |e| + \y\t IJJiJ lim f(x,y) = 0即其二重极限存在 x—0 y—»01 '
又4- y) - sin — • sin -不存在［当z -f—\ (k = ±1, ±2, •…)，lim (x + y) • y—»o x y \ ktt I X—»o
kir
.1
sin —x
• sin —不存
y
(上=±1,±2,…)
在(当v*吉
即 lim lim f(x,y)及lim lim f(x,y)都不存在. x—»O y—»O y—*O x—»O
方法二：无穷小乘以有界量法!
&证明函数
X * 2 黑 o
①4 +妙2，”十9产U
0, a:? + / = o
在(0,0)点沿每一条射线①=tcos0,y = t sin0(0 W t + 8)连续，但它在(0,0)点不连续.
证明：当sin0 = 0时，cosO = 1 或一1,于是当上黑0时，/(tcos0, £sin0) = 0,而/(0,0) = 0 则有lim f (t cos 0, t sin 0) = /(0,0)
当sin0#O,有lim/(tcos0,tsin0) = 0,故有limf(tcos0,tsin^) = /(0,0)
其次，设动点P(x,y)沿抛物线y = x2趋于原点，得lim f(x,y) = / /(0,0),则函数f(x,y)在点(0,0)不连
y=x2 2
续.(注：可以x和y带入后，讨论参数)
x—»0
第14章
f(x,y) = x2y2 求 fx(x, y), fy(x, y), fx(2,3), /^(0,0), fy(x, y) | x=y .
x=y = 2xy2 — 2y=x
解:fx(x,y) = 2x『，fy(x,y) = 2x2y 一 2,人(2,3) = 36,人(0,0) = 一2,九***@y)
:
(2) u = xm yn
(2) du = xrn~1yn~1(mydx + nxdy)
7.
证明:=
不可微.
xy