数学奥林匹克初中训练题及答案(四).doc

数学奥林匹克初中训练题及答案(四).doc数学奥林匹克初中训练题(四)
第一试
.(每小题7分，共42分)
(),b均为质数，且a2+b = 2003,则a + b的值为：
(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002
b + c a + c „ a + b „
()》0》b》c,a+b + c = l,,M = 、N = ,P = ，则 M、N、P
a b c
之间的关系是：(A)M AN aP (B)N aPaM
(C)PaMaN (D)M aPaN
() AABC 的三边长为 a,b,c 满足 b + c = 8,be = a?—12a+ 52,则△ ABC 的周
长是:(A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定
):①直角三角形的两边长为3,4,则第三边长为5;②x
③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形ABCD中,AD#BC,且 AB+BC=AD+DC,则四边形ABCD是平行四边形.
其中正确的命题的个数为:(A)0 (B)l (C)2 (D)3
()5.—个四位数aabb为平方数，则a + b的值为：(A)11 (B)10 (C)9 (D)8 () = 60°, AC = 12,BC = k的△ ABC恰有一个，那么k的取值范
围是：(A)k = 8巧(B)0yEV12 (C)Z: >12 (D)Oy k <12或k = 8能
.(每小题7分，共28分)
已知a,b,c为实数，且多项式+ax2 +bx + + 3x-4整除，则2a_2b_c
的值是 .
设正整数 a,b,c 满足 ab + bc = 51& ab-ac = 36Q ,JSiJ abc 的最大值是 .
3,若 abc =1, 1 1 = 2003，贝 0 x = ,
1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac
,AB是半圆O的直径，四边形CDMN和
DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB ±,F,N在半
=10,则正方形CDMN的面积与正方形
DEFG的面积之和是 .
fvfr 、_|i
第一试
（20分）若AD是A ABC角平分线,I是线段AD上的点,>Z5ZC = 90°+-ZBAC . 2
求证:1是A ABC的内心.
二.（25分）用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只， 每次拖4只小船，一日能来回16次;每次拖7只小船， 数是拖小船只数的一次函数（一天中每次拖小船只数不变）.问每日来回多少次，每次 拖多少只小船，才能使运货问题达到最大？
n h c
三・（25分）设a,b,c是从1到9的互不相同的整数，求 的最大的可能值.
abc
参考答案
第一试
—、1.(C).
由于2 003是奇数，所以a、b中必有一数是偶 = 2,则a2 =2 001, W 2 001不是完全平 a = 2, 6 = 1 999，有 a + 6 = 2 001 •
2.(D).
因为 M — 1, /V = 4- - 1,
a O
故 N< P,M- P = ^^>O,M> P.
所以