数学：不等式课时复习教案（18份）--高中数学教案不等式课时复习11.doc

数学：不等式课时复习教案（18份）--高中数学教案不等式课时复习11.doc第-一教时
教材：不等式证明六(构造法及其它方法)
目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：
一、构造法：
构造函数法
例一、已知x>0,求证：x + - + ^->-
* * +丄 2
证：构造函数 f(.r) = .r + -(.r>0) + ->2,设 2<a<p
X X
由 f(a)-f(p)= a + 丄—(［3 + A(a_［3) + p■讣］=© —卩)戮T)
a p (a 卩丿 ap
显然・・・2Wocv0 Aa-p>0, ap - 1 > 0, ap > 0 二上式 >0
••.f (x)在［2,+8)上单调递增，左边n f(2)= j
例二、求证:
/ +10〉10a/.v2 + 9 3
.2 . i
证：设/= J/+9（/, 3）贝lj f （?） = y =-——
用定义法可证：f(f)在［3,+8)上单调递增
2 2
令：3<fi<f2 贝U — = & — %）（也 T）〉°
‘1 ‘2 ‘1‘2
33+1 10
3 T
构造方程法：
例三、已知实数a, b, c,满足a + b+ c= 0和abc= 2,求证：a, b, c中至 少有一个不小于2o
证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a> 0,
/ b + c — a
则h Zf "即b, +ar + - = 0的两个实根。
\ a
Q
/— —>0 即：狂2
a
证：设y= —贝U： (y- 1)tan20 + (y + 1)tan0 + (y - 1) = 0 sec- 0 + tan0
当y= 1时，命题显然成立
当 1 时，△=($+ 1 )2 - 4(y- 1 )2 = (3y- 1 )(y- 3)^0
/. - < y < 3
3
综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)
构造图形法：
例五、已知0 <日<1, 0 < d< 1,求证：
7a2 +b- + J(a_l)2 +沪 + J/ +@_1)2 + J(a_l)2 +@_1)2 > 2迈
证：构造单位正方形，O是正方形内一点
1-Z)
b
A a「 <|_a又：丨"1=1刃)1=血
O到AD, AB的距离为a, b, D
其中\AO\=^a2 +b-,
I BO l= M
I CO l= J(a_l)2 +@_1)2
则/0| + \BO\ + \CO\ + \DO\^\AC\ + \BD\
I DO l= J/ +@_i)2
^a2+b2 +』@_1)2+庆 + (a? +@_叶 + J(a_l)2+(b_l)2 > 2迈 、作业：证明下列不等式：
3 x2 + x + 1
2 _ . i
令y = —-—,贝U (y- l)^2 + (y+ 1)x+ (y- 1) = 0
x- +x + l
用△法，分情况讨论
2. 已知关于x的不等式(32-1)/-(3-1)%-1 <0(aeF?),对任意实数x 恒成