数理方程17期末复习题.doc

数理方程17期末复习题.doc
一、试用分离变量法计算下列定解问题
d2u _ d2u
0<x<10,r >0=0
=0
=0
解设该定解问题的解为u(x,t) = X(x)T(t)
X'U)_
X(x) ~ '
T"(t) + XT(t) = 0
得 X(0 丿= 0,X(10 丿=0
X"(x) + XX(x) = 0 由"L=0=。’ mL=10 =0 解特征值问题
‘X ''(井几 X (姐
< X (0 左 0 , X1(Q=)
通过讨论得：
1、 /IV0时，X(x) = 0
2、 2>0, 2 = 02, x(x) = Acos/3x + Bsin(3x
由 X(0) = 0,知4 = 0, X(10) = 0,知BsinlO0 = O,从而
P = —, 2-(—)2, (77-1,2,...),特征函数XW-Bsin —X
10 10 10
将特征值2” =(罕卩代入T"(t)+(^)2T(t) = Q,得
TJt) = C[cos— + D,nsiri—,n^l2f
n n 10 10
00 设 u( x,t)=工 n=l
,„ nnt . . rm
(C„ cos——+ D” sm——)sin—x,
"10 10 10
由于少 =0,所以D”=0
& k=0
代入初始条件4 =sin—得
I|QO 10
. nx
> C„ sin = sm —
幺"10 10
所以，C]=l, C”=O,"K1,于是
/ \ 兀 .兀
u( x,t) = cos ——t sin——x
10 10
二、求解下列特征值问题
X"(x)+2X(x)= 0 , (0< x < Z)
X'(0) = 0,X'(Z) = 0
解
2<0,
/ + Q = 0 解得 r = 土 J- 2 通解：X(x) = Ae^x + Be~^x
由 X'(0) = 0,X'(Z) = 0 解得 A = 0,B = 0
所以X(x)三0
2 = 0,
X"(x) = 0
通解：X(x) = A + Bx
由 X'(0) = 0,X'(Z) = 0解得 B = 0
所以X(x) = A
/ + 2 = 0 解得 r = ±y/~Xi
通解：X(x) = A cos V2x + BsinV^x
X'(x) = -Aa/2 sinV2x + Ba/2 cos V^x
由 X，(0) = 0得B = 0
由 X* (Z) = 0 - aVI sin Viz = 0
从而 sinV^Z = 0
所以佢Z = nn
2 =(竿)2, = 1，2,3,
对应特征函数X(x) = A cos-j-x
三、求解具有非齐次边界条件的非齐次方程的定解问题
du d2u 小
—=—o— 2 dt dx2t/L=0
0<x<l,t>0
du
2 ・3兀=兀+sm——x 21
解： 设 w = v(x,Z) +)v(x)
w"(x) = 2
则有:
< w(0) = 0
二> w(x) = X2
W’C) = 21
dt dx2
0<x</
v|
x=0
=0
2 •
+sm
3