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导数与微分典型习题解答与提示.docx

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导数与微分典型习题解答与提示.docx第二章导数与微分典型****题解答与提示.2x+ x . x
. (r i r\ 「eq * —sin - sin^-—
/ 「 COS I X -b X I — COS X o o
(1) (cosx) =hm = hm = - sin x ；
\ 7 XT。 jq xtO X
~2~
/ 、， [a(x+ x}-^-b]-(ax-\-b}
(qx + 8)= lim = a o
' 7 1。 x
(1) A = _广(尤0)；
（2） A = f'（o）,这是因为：左端= lim 言（。）=押）；
（3） A = 2f,（x0）,这是因为：
左端=1讪卜（'。+「Af（%）+ f（x。-功-山帛］=2f，（帛。
1° L X — X J
…，2 4 — /,、 ¥ , 16 = 4. u = s'(2)= 12m/s。
3
5. （1）所求切线方程为y = —1,法线方程为X = —7l;
2
（2）所求切线方程为y-上
2
争"―勺,法线方程为—号"―如；
（3）所求切线方程为y-l = x，法线方程为y —1 = —X。
割线斜率为二2l = M1 = 4,因为y' = 2x,令y = 4，得x = 2,即抛物线上过
尤2 _ %1 3 — 1
（2,4）点的切线平行于已知割线。
因为y' =》2,令y = 4, Wx = ±2,y = ±|,所以过点〔2,§{—2, 一处的切线平行
于直线y = 4x + 5,令y' = 9,所以x = ±3,y = ±9,所以过点(3,9),(-3,-9 )处的切线
垂直于已知直线工+ 9"3 = 0。
(1)因lim/ (x) = limxsin — = 0 = /(0),故函数在 x = 0 处为连续，
JC
.1
f(x}- f(0} xsm- i
考虑lim = lim = limsin —不存在，即广(0)不存在，
io x — Q 2° x 2° x
得函数在x = 0处不可导。
(2)因为li吁/*(x) = li吁计sin^ = 0 = y(0),所以函数在尤=0处为连续， JC
2 . 1
f (x\_ f (q\ x sin —
考虑lim八」八］- lim 芟=0 ,所以f'(0)= 0,即函数在x = 0处可导。
X — 0 2° X
令函数f(x)在x = l处的左极限和右极限相等且等于f(l),则有a+5 = 1；
令函数f (x)在X = 1处的左导数和右导数相等，可得a = 2,所以b = -l.略。
4 _Z
(2) y' = 4x3 ——x 3 -2x~3 ；
3
(3) y' = 2xcosx-x2 sinx ；
4
(1) yr = 6x H—；
(6)
2
("I)
x
y' - ex (x2 - x-2)； (5) 矿=—— ；
(1 +尤+寸)
2 + sin x ( x \
(7) y'= ——； (8) yr = ax\ tanx + xln6Ztanx + 。
COS X k COS X)
(1) yf I + (2) 广(4)=—-；
日 4 8 V 7 18
3 17
⑶ r(o)=—,r(2)=—； (4)广(。)=2/⑴=2凌。
(1) U = Sf = D0- gt ;
(2)令 d = 0,即
g
得上升最大高度s
g 2g2 2g
5. y'= 6尤2—18«x + 12 = 6(尤一 1)(尤一 2),令 y' = 0，得 x = l 或尤=2,这时对应 y =5 或
y=4,所以曲线在点(1,5)或(2,4)处有水平的切线。
6. y' = 2x + 5,令)/= 3,尤=一1,〉= 0 ,故 Z? = 3,即当 b = 3 时，直线 y = 3x + 3 与曲线
y = ]2+5i + 4 相切，切点为(-1,0)o1. (1) yr = 8(2x + 5)3 ；
(4)
2x
1 + x2
(5)
2x
cos2 X2
(6)
X
y/a2 -x2
(7)
+ 1
x2 +% + l)ln。
(8)矿
1 3
=-aD(-2x)=
X
y'= 3sin(4 — 3x) ； (3) = -6xe~3x ；
yr = e 21 Icos3x + ^ 2 (-sin3x)x3 = -e 21 —cos3x + 3sin3x
= 2xsin —+ x2cos— ——- =2xsin ——cos—；
x x\ x J x x

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