导数及其应用-高考文科数学复习资料.docx

导数及其应用-高考文科数学复习资料.docx数学抽象
学科素养
训练题组
1.
己知函数f (x) =lnx-ax (”eR),讨论函数
f (x)的单调性.
例(2018*达州模拟)已知函数f (x) =lnx - ax, g (x) = 2
x2 - (2a+l) x+
(a+1) Inx.
2.
［2017-郑州模拟】已知函数/(x) = (x-k) eA
(1)求/(x)的单调区间;
(1)当 a=l 时,
求函数了(x)的极大值;
(2)求f (x)在区间［0, 1］上的最小值.
(2)当 a21 时,
求证：方程f (x) =g (x)有唯一实根.
3.
设函数(x) =ar3-2x2+x+c (a>0).
. 1 , 1—X
/*(对=——1 =
【思路分析】(1) a=l时， X
(1)当。=1,且函数图象过(0, 1)时，求函
的极小值;
(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范目
f (x)在(0, 1)递增，在(1, +8)递减，即可得函数 f (x)取得极大值f (1) = - 1.
—x2 —(a+X)x+alnx= 0
(2)方程/ (x) =g (x)的根。2
—x2 — (a+^x+alnx
的根，令 h (x) =2 , (x>0, a>l),
x X ,分 a=l, a>l
两种情况讨论即可.
【解析】(1)a=l时，函数f ( x ) =lnx - x ,
xe (o, 1)时，f (x) >0, xe (1, +8)时，f (x) <0,
.*./ (x)
在(0, 1)递增，在(1, +8)递减，
时，函数f (x)取得极大值f (1) = - 1.
—x2 —(a+^x+tflnx= 0
(2)方程/(x) =g (x)的根即2 '
—X2 — (a+I)x+alnx
的根，令 h (x) = 2 , (x>0, a>l)
入'(功== (x-a)(JC-D
X JC ,
当a=l时，h' (x) 20在(0, +8)恒成立，函数* (x)
单调递增，方程T (x) =g (x)有唯一实根.
当 a>l 时，x£ (0, 1)时，h' (x) >0,
x€ (1,。)时，h' (x) <0,
xC (a, +8)时，h' (x) >0,
:.h (x)在(0, 1) , (a, +8)单调递增，在(1, a)
-<0
单调递减，而 h (.1) = - a - 2 , xJ+8时，* (x) 9+8,
函数h (x)与x轴只有一个交点，.•.方程f (x) =g (x)有 唯一实根.
综上所述，方程f (x) =g (x)有唯一实根.
【方法技巧】此题考查了可导函数的单调性与其导数的关 系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的 能力，属于中档题.
直观想象
例设函数y=xsiiu+cosx的图象上的点(而，为)处的切 线的斜率为奴若k=g 3),则函数k=g(X。)的图象大 致为()
【思路分析】求出函数的导数，得到函数的解析式， 然后判断函数的图象.
【解析】y' —XCOSX, k—g(Xo)=XoCOSXo，由于它是奇函
n
数，排除B, C；当O<X<4时，k>o,排除D,答案为A.
=sinx上任一点(x, y)处切线的斜率 g(x),则函数y=Jg(x)的部分图象可能为(
(x)是奇函数/ (x) (x£R)的导函娄 f (-1) =0,当 x>0 时，xf (x) -f (x) <0,则 得f (x) >0成立的x的取值范围是()
J, -1) U (0, 1)
(-1, 0) U (1, +oo)
(f, -1) U (-1, 0)
(0, 1) U (1, +oo)
(x)的导函数f (x) =ajc+bx+c
图象如图所示，则f (x)的图象可能是()
【方法技巧】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间 ：导函数为正，原函数递增； 导函数为负，原函数递减.
/ (x)的图象是如图所示的一 直线1, 1与x轴的交点坐标为(1, 0),则犬0)与成 的大小关系为()
A. A0)<A3) )次3)
逻辑推理
例已知函数 门*4壬，若六9&在(顷)上
恒成立，则"的取值范围是.
【答案】a、-】
Inx—— <x^
【思路分析】恒成立的不等式为 尤 ，便于参数
分离，所以考虑尝试参变分离法
已知y=f (x)为(0, +oo)上的可导函数，且
空>0
/(X)+ X ,则对于任意的a, bw (
+oo)