离散数学第九章代数系统.ppt

离散数学第九章代数系统
*
第一页，共44页
第九章 代数系统
主要内容
二元运算及其性质
一元和二元运算定义及其实例
二元运算的性质
代数系统
代数系统定义及其实例
子代数
积代数
代数系统的同态与同构
*
第二页，共44页
二元运算及其性质
设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算，简
称为二元运算．
S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一．
S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．
例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但
减法和除法不是．
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，
而除法不是．
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而
加法和减法不是．
*
第三页，共44页
实例
(4) 设Mn(R)表示所有n 阶(n≥2)实矩阵的集合，即
 

则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.
(5) S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上二元运算.
(6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算.
*
第四页，共44页
一元运算的定义与实例
设S为集合，函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简
称一元运算.
例2 (1) 求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上
的一元运算 
(2) 求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元运算 
(3) 求共轭复数是复数集合C上的一元运算 
(4) 在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)上的一元运算. 
(5) 设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算.
(6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.
*
第五页，共44页
二元与一元运算的表示
1．算符
可以用◦, ∗, · , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符.
对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z
对一元运算, x的运算结果记作x.
2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表
公式表示
例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：
x, y∈R, x ∗ y = x.
那么 3∗4 = 3， ∗(3) =
*
第六页，共44页
运算表：表示有穷集上的一元和二元运算
运算表
二元运算的运算表 一元运算的运算表
*
第七页，共44页
例3 设 S=P({a,b})，S上的和 ∼运算的运算表如下
运算表的实例
*
第八页，共44页
二元运算的性质
设◦为S上的二元运算,
(1) 若对任意x,y∈S 有 x◦y=y◦x, 则称运算在S上满足交换律.
(2) 若对任意x,y,z∈S有 (x◦y)◦z=x◦(y◦z), 则称运算在S上满足结
合律.
(3) 若对任意x∈S 有 x◦x=x, 则称运算在S上满足幂等律.
设◦和∗为S上两个不同的二元运算,
(1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律.
(2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
*
第九页，共44页
实例
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实
矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2
集合
运算
交换律
结合律
幂等律
Z,Q,R
普通加法+
普通乘法
有
有
有
有
无
无
Mn(R)
矩阵加法+
矩阵乘法
有
无
有
有
无
无
P(B)
并
交
相对补
对称差
有
有
无
有
有
有
无
有
有
有
无
无
AA
函数复合
无
有
无
*
第十页，共44页