多面体欧拉公式的发现.ppt

多面体欧拉公式的发现研究性课题: 一些定义: 若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。围成多面体的各个多边形叫多面体的面 (Face) 。两个面的公共边叫多面体的棱 (Edge) 。若干个面的公共顶点叫多面体的顶点 (Vertex) 。多面体的面数 F?4,棱数 E ? 6,顶点数 V ? 4。一个多面体至少有个面, 条棱, 个顶点. 464 回顾知识问题一: 问题二: 我们知道正多边形有无限多种,前面我们学****过,正多面体只有 5种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。这是为什么呢? 小明想用 90根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面体,他连续拼了 N次,仍然没有合理地拼出此多面体. 你能帮助他设计出来吗? 多面体的顶点数、面数和棱数之间有什么关系呢? 瑞士数学家欧拉早在 1750 年就研究过这个问题,并得出自己的结论,下面我们就沿着欧拉的足迹来探索这个关系。 1、观察下面有 5个多面体,分别数出它们的顶点数 V、面数 F和棱数 E,并填出下表; 图形编号(1) (2) (3) (4) (5) 顶点数 V面数 F棱数 E (1) (2) (3) (4) (5) 4 6812 6898 15 99 16 观察表中填出的各组数据中, V、F和 E 之间有什么规律吗? 4612VFE + _+ _ =2 图形编号(1) (2) (3) 顶点数 V面数 F棱数 E5 58121224 7 8 12 观察表中数据,这些图形的 V、 F和 E 符合前面所找出的规律吗? 出现这些区别的原因是什么? 下面有 3个多面体,分别数出它们的顶点数 V、面数 F和棱数 E。比较前面问题 1和问题 2中的图形, 如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的, 并且可以向它们内部充气,那么其中哪些多面体能够连续(不破裂)变形,最后其表面可变为一个球面? 定义:表面经过连续变形能变为一个球面的多面体叫做简单多面体. 问题 1:我们所熟悉的棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体是简单多面体吗? 问题 2:五种正多面体是简单多面体吗? 图形正十二面体正二十面体顶点数 V面数 F棱数 E 20 1230 1220 30 问题 3:五种正多面体都满足 V+F-2=E 吗? 问题 4:简单多面体都满足 V+F-2=E 吗? 猜想:简单多面体的顶点数 V、面数 F、棱数 E之间存在规律: V+F – E=2 。欧拉(公元 1707-1783 年) 出生在瑞士的巴塞尔( Basel )城, 13岁就进巴塞尔大学读书,他从 19岁开始发表论文,直到 76岁,共写下了 886 本书籍和论文,彼得堡科学院为了整理他的著作,。这是由欧拉在 1750 年发现的,故称为欧拉公式。欧拉公式的背后是一门新的几何学,这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序,而不考虑图形尺寸大小,如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓朴学。欧拉著作的惊人多产并不是偶然的,他可以在任何不良的环境中工作,他常常抱着孩子在膝上完成论文,,不幸右眼失明了,这时他才 ,左眼视力衰退, , 凭着记忆和心算进行研究,直到逝世。欧拉的一生,是为数学发展而奋斗的一生,他那杰出的智慧,顽强的毅力,孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德,永远是值得我们学****的. 以欧拉名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 欧拉还创设了许多数学符号,例如π,i,e, sin 和 cos , tan , △x,Σ, f(x) 、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。 1735 年,欧拉解决了天文学中计算慧星轨道的问题,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了. 基础知识形成性练****下列说法中正确的是(1)只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理; (2)所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理; (3)所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理; (4)所有多面体的顶点数、棱数满足欧拉定理。 A (1)( 2) B (1)( 4) C (2)( 3) D (3)( 4)