恰当微分方程与积分因子.ppt

第二章一阶微分方程的初等积分法? Integrated Method of First Order ODE 2017-3-7 1 常微积分方程-重庆科技学院-李可人§ 恰当方程与积分因子// ( , ) , u u x y ?设是一个连续可微的函数则它的全微分为 dyy udxx udu??????如果我们恰好碰见了方程 0 ),(),(??????dy y yxudx x yxu 就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu?一、恰当方程的定义及条件定义 1 ( , ), u x y 若有函数使得dyyxNdxyxMyxdu),(),(),(??则称微分方程)1(,0),(),(??dyyxNdxyxM 是恰当方程. (1) ( , ) . u x y c ?此时的通解为如0?? ydx xdy0)2()3( 322????dy xy xdx yyx0)()(??dyygdxxf 是恰当方程. ?)( xyd??)( 23 xyyxd????))()((ydygxdxfd 1 恰当方程的定义需考虑的问题(1) 方程(*)是否为恰当方程? (2) 若(*)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(*)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 方程为恰当方程的充要条件定理 1 ( , ) ( , ) , M x y N x y R 设函数和在一个矩形区域中连续且有连续的一阶偏导数则方程)1(,0),(),(??dyyxNdxyxM 为恰当方程的充要条件是).2(, ),(),(x yxNy yxM?????( , ) ( , ) 0, (*) M x y dx N x y dy ? ?证明“必要性”设(1) 是恰当方程, ( , ), u x y 则有函数使得 dyy udxx uyxdu??????),( dyyxNdxyxM),(),(??故有),,(yxMx u???),(yxNy u???从而 2, M u y y x ? ??? ?? 2. N u x x y ? ??? ?? 2 2 , u u y x x y ? ??? ??由于和都是连续的从而有, 22yx uxy u???????故. ),(),(x yxNy yxM?????“充分性”, x yxNy yxM?????),(),(若(5) , , y从出发把看作参数解这个方程得( , ), u x y 则需构造函数满足)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu??即应满足)5( ),,(yxMx u???)6( ),,(yxNy u??????).(),(),(ydxyxMyxu?( ) , y y ?这里是的任意可微函数???y u因此?????)7(),( )(dxyxMy Ndy yd?(7) , x 下面证明的右端与无关 x即对的偏导数常等于零事实上]),([??????dxyxMy Nx]),([?????????dxyxMyxx N )6( ),,(yxNy u???( ), (6), y u ?下面选择使同时满足即????dy yddxyxMy )(),( ?N????).(),(),(ydxyxMyxu?]),([?????????dxyxMxyx Ny Mx N??????.0?, (7) , y 于是右端的确只含有积分之得,]),([)(dy dxyxMy Ny???????故??dxyxMyxu),(),(,]),([dy dxyxMy N??????(8) ( , ) , (1) u x y 即存在从而为恰当方程.?????)7(),( )(dxyxMy Ndy yd?注:若(1) 为恰当方程,则其通解为( , ) [ ( , ) ] , M x y dx N M x y dx dy c c y ?? ? ??? ??为任常数 1 不定积分法. ,0),(),(1 0若是进入下一步是否为恰当方程判断??dyyxNdxyxM???, ydxyxMyxu)(),(),(2 0?求).(),(3 0yyxNy u?求由???例 1 验证方程 0) sin 2()(????dyyxdxye x是恰当方程,并求它的通解. 二、恰当方程的求解