6-2 定积分的几何应用(1)--平面图形的面积.pdf

第二节定积分的几何应用(1) 二、典型例题————平面图形的面积平面图形的面积一、主要内容三、同步练****第六章四、同步练****解答一、主要内容∫= b a xxfAd)( 曲边梯形的面积(1) 面积元素 x xfA d)(d = (2) 面积元素 x x g x f A d)]() ( [d ?= ∫?= b a xxgx fAd)]() ( [ 曲边梯形的面积 1. 直角坐标情形 c d 一般地,有∫?= b a xxgx fAd)() () 3 ( ∫?= c a xxgx fd)]() ( [ ∫?+ b c xxfx gd)]() ( [ )(ba < )( d)() () 4 ( dc yyyA d c < ?= ∫?ψ x y O )( y x ψ= )( y x ?= y y y d + a b c x y O y = f ( x ) y = g ( x ) d A x x x d + 当曲边梯形的曲边???= = )( )( ty tx ψ?给出时, )( x f y = 由参数方程满足: 且)(),( x ψ x φ;)(,) ( ) 1 (ba = = β?α?上具有一阶连续导数; 或在]),[](, [ ) ( ) 2 ( αββα? t 连续, )() 3 (ty ψ= 则曲边梯形面积为]),[, 0 ) ( (ba x x f ∈≥∫= b a xxfAd)( )(d ) ( ) (battt ≤′?= ∫βα?ψ 2. 参数方程情形 o y x a b )(xf y = 3. 极坐标情形,0)(, ] , [ ) ( ≥∈θ?βαθ? C 设求由曲线)( θ?ρ= 及βθαθ= = , 射线围成的曲边扇形的面积. 在区间],[ βα上任取小区间], [ θθθ d + 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为[] θθ?d)( 2 1 d 2 = A 所求曲边扇形的面积为: θθ?βα d)( 2 1 2 ∫= A )( 面积元素: βα< 问题: ).( θ?ρ= 的极坐标方程为: 设曲线 L 如何画出极坐标方程所表示的曲线的草图? 方法: 的取值范围; 的可确定曲线,即由θθ?ρ L ,0)(01 ≥≥ o .2cos 22 θρ a = 如:对于双纽线 2 5 2 2 3 2 2 2 π≤≤ππ≤≤π?θθ及令 4 5 4 3 44 π≤≤ππ≤≤π?θθ及得,02cos ≥θ方程知由 x y O 关于极轴对称; 则若 L ),()(2θ?θ?=? o . ),()( 轴对称关于则若 yL θ?θπ?= ?. 314 的讨论画出图形合综 ooo ?;) ( )( 3 的单调性的符号,判断利用θ?ρθ?ρ= ′= ′ o , 如:对于π)20 , 0( ≤≤> = θθρ aa ,0 >= ′ a ρ Q . 的增加而增加随θθρ a = ∴ x y O 2 π a 二、典型例题计算由两条抛物线 xy = 2 和 2xy = 所围成的 图形的面积. )1,1() 0 , 0 ( 解 1o 求两曲线面积元素: xxxAd)(d 2 ?= ]1,0[ ∈ x ?????= = 2 2 xy xy 的交点: 选 为积分变量 x 2o xxxAd)( 2 1 0 ?= ∫ 1 0 3 2 3 33 2 ???????= x x . 3 1 = 例 1 x y O 2xy = xy = 2 1 例 2 计算由曲线 xxy 6 3?= 和 2xy = 所围成 的图形的面积. 解( 方法 1) 1o 两曲线的交点).9,3(), 4 , 2 ( ), 0 , 0 ( ???????= ?= 2 3 6 xy xxy ]3,2[ 2o 选 x 为积分变量, ?∈ x ],0,2[) 1 ( ?∈ x xxxxAd])6[(d 2 3 1 ??= ],3,0[) 2 ( ∈ x 2xy = xxy 6 3?= 2 ? 3 O xxxx Ad)]6([ d 32 2 ??= 于是所求面积 21AAA + = xxxxAd)6( 2 0 2 3 ??= ∫? xxxxd)6( 32 3 0 +?+ ∫. 12 253 = 说明: 注意各积分区间上被积函数的形式. 问题: 吗? 积分变量能选 y xxxxx x g x f Ad)6(d ) ( ) ( 3 2 2 3 3 2 ∫∫????=?= ( 方法 2) 代公式,得 xxxxd)6( 2 0 2 3 ??= ∫? xxxxd)6( 32 3 0 +?+ ∫. 12 253 = 太麻烦!