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2002 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A题车灯线光源的优化设计参考答案 A题车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径 36毫米,深度 毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F正前方 25米处的 A点放置一测试屏,屏与 FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过 A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线 A点的同侧取 B点和 C点, 使 AC=2AB= 米。要求 C点的光强度不小于某一额定值(可取为 1个单位), B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。请解决下列问题: (1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。(2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。(3)讨论该设计规范的合理性。注意:以下答案是命题人给出的,仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。四. 反射光亮区的计算分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合,计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线,判断其是否与车灯反射面相交,若相交,一次反射光不能到达测试屏,否则求出该反射光线与反射屏平面的交点,即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为 x轴,纵坐标为 y轴,单位为 mm), 下半部分与上半部分是关于 x轴对称的。汽车前照灯线光源的优化设计( 2) 汽车前照灯分为"近"和"远"两个档位, "近光"的距离取的是汽车前照灯正前方的一恒定距离(国际通用的标准为 25米远)。汽车的配光性能可以通过在接收屏上测光强等手段来衡量。针对一个已经提出配光性能要求的汽车前照灯光源设计问题,本文提出了"双向蒙特卡罗方法",此方法能够大大节省计算量,使计算量至少降低了一个数量级(具体数据见正文中第五部分的表格);同时,在具体求解时还根据题目特点,使用了进一步优化计算的逆向蒙特卡罗法。计算接收屏上定接收点的能量时采用蒙特卡罗光能算法:将光源发出的光束细分为光线后,对每条光线依据反射定理及空间解析几何等有关知识,计算出此条光线最终是否落在屏上的定点,以此统计屏上定点的光线数目。计算线光源最小功率时建立了优化模型: 线光源能量 P等于其功率密度 h与长度 a的乘积,使其最小是第一个目标,另外一个目标是 k= EB/E C 在大于 2倍的前提下与 2尽量接近,这里 EB、 EC分别表示 B、C两点上的光能量。在此两个目标值的基础上兼顾到对实际生产有意义的光源长度精度值限制,求出了最优长度为 。根据几何光学的光路可逆原理,进行光路的逆转,将原来的线光源与接收屏上的点转变为线接收器与点光源,此时在线光源与接收屏上的点之间建立了"联系"的光线,虽然能量分布产生了变化,但边界点的轨迹是不变的。即:如果把屏上点 N当作点光源时没有光线照射到线接收器上,那么线光源发出的光也就不会落在点 N上。这样用逆向蒙特卡罗法计算出所有这种点的集合,其补集即为所求亮区域。本文对模型的计算量简化程度进行了定性分析,验证了模型的合理性,并以此论证了采用双向光路追迹的意义,又对第二个问题进行了扩展,仍然使用双向蒙特卡罗法,求出了总的屏上光能量分布情况,并绘制了等高线描述的光能量分布图,对总光能分布的特点进行了详细的分析。特别地,本文在最后讨论了模型在实际生产中的应用与变化,从结构、质地、物理性质等方面指出了模型适用性与有待改进的地方,增强了模型的实用性。汽车前照灯线光源的优化设计( 3) 一、问题重述安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径 36毫米,深度 毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F正前方 25米处的 A点放置一测试屏,屏与 FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过 A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线 A点的同侧取 B点和 C点, 使 AC=2AB= 米。要求 C点的光强度不小于某一额定值(可取为 1个单位), B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。请解决下列问题: (1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。(2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。(3)讨论该设计规范的合理性。二、模型假设 1、反射面上无能量损耗。 2、根据汽车制造业的惯例,车灯设计中只使用几何光学的光路追迹法,物理光学理论