7.1 紧致空间.ppt

第7章紧致性§:掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法。(这些方法哪些是充要条件?) 掌握紧致性是否是连续映射可保留的, 是否是可遗传的、有限可积的。 X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个紧致空间. 注:每一个紧致空间都是 Lindeloff . 一、紧致性及其刻画例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个 Lindel ? ff空间,但它不是一个紧致空间. ?定义 设 X是一个拓扑空间, Y是X中的一个子集, 如果 Y作为 X的子空间是一个紧致空间, 则称 Y是拓扑空间 X的一个紧致子集. 定理 设 X是一个拓扑空间, Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由 X中的开集构成的 X 因此有一个有限子覆盖,设为{}, YAYAYA n???,..., , 21A ~证明:必要性设Y是拓扑空间 X中的一个紧致子集, A 是Y的一个覆盖,它由 X中的开集构成. ?A ~}{??AYAA 则容易验证集族 也是 Y的一个覆盖,它由 Y中的开集构成. nAAA ,... , 21于是 A 的有限子族 覆盖 Y. 此时易见 A 的子族{ }覆盖 . nAAA,... , 21 充分性,假定每一个由 X的开集构成的 Y的覆盖都有一个有限子覆盖. 则对于每一个 A∈A 存在 X中的一个开集 使得A=∩Y. AU AU设A 是Y的一个覆盖,它由 Y中的开集构成. An AAUUU,... , 21因此是由 X中的开集构成的 Y的一个覆盖,所以有一个有限子覆盖,设为{} A ~}{??AU AA 图继续 YX A 这是因为如果设 A={(-n,n) R | n ∈Z+}, 则A的任何一个有限子族{} , 由于它的并为(-max{ },max{ }) 所以不是 R的开覆盖 A没有任何一个有限子覆盖. ?),( ),..., ,( ),,( 2211kknnnnnn??? knnn,... , 21knnn ,... , 21①例 实数空间 R不是一个紧致空间. ②例有限补空间( X,T )为紧致空间. A ?}{},,,{ 21AAAA n??是一个有限集,所以 A的子族也是有限的,易见它也覆盖 X. 因此,包含着有限补空间是紧致空间。 证:设 A中取定一个非空集合 A.(不妨设 A ≠Φ、X),则 X-A 为有限集,记为}.,,,{ 21naaaA???., iiiAaA?使得对于每一个在A 中选取一个 Aa i??③例平庸空间( X,T )为紧致空间. ④例设( X,T )为离散空间, 则X为紧致的为有限集。 X??包含着无限但可数个点的离散空间是一个 Lindel ? ff空间,但它不是一个紧致空间.