Banach空间.ppt

设X为一个线性定义空间,即对加法满足: 1 )x+y=y+x ( 交换律) 2 )(x+y)+z=x+(y+z) (结合律) x x ? ??? 3 )存在零元,即,? 4 )存在逆元 x+x'= x'记为-x 对数乘满足: ? ?? 5 )1 x=x, 0 x= ? ??? 6 ) ( x)= x (结合律) x y ??? ??? 7 )( )x= (数乘分配律) ? ?? 8 ) (x+y)= x+ y (数乘分配律) 第第8 8章章 Banach Banach 空间与不动点定理空间与不动点定理 Banach Banach 空间空间?若对任意x X,有一个确定的实数 x 与之对应,并满足: ?? 1 x X, x 0, x 0 x 0 ?? ????且 ; ??? ????? 2 x 及数, x x ; ?? 3 x, y X, x y x y ? ????, ,?则称 x 为x的称(x 范数, 线性)为赋范空间。完备的线性赋范空间称为 Banach 空间。( , , ..., ) ? ? n n 1 2 n 1)在n维欧氏空间R中,x 例8x .1 x x R , ??? n2n i i 1 令 x x , 则 x 成为R 中的范数, ( , ) ? nR 为一个Banach空间。?????? x , x(t) ?? t a,b 2) 在 C a,b 中, = max x(t) C a,b 。 i 1 2 n x x , m ???? ????? 1 i 3) 在m中, = sup , ( ,…, ,…) 。 C[a, b], m Banach 则 都是空间。 x 对范数,可以理解为从原点到x之间的“距离”, 有了范数的概念,我们可以引入任意的点之间的距离, ( ) ?令 x,y = x-y 容易验证,这个距离满足距离的三条公理。第一,二公理是显然的,现证明第三公理-三角不等式: X Banach f : X R ?设为 空间, 为一定义个泛函。 1 2 1 2 1 2 x , x X, f (x x ) f (x ) f (x ) ? ????(1)若 ; , ( ) ( ) ?? ??? R f x f x ; 则称f为x上的线性泛函。, ( ) ?? ?(2) 若 x X 存在一个正数M,使 f x M x , 则称f为X上的有界泛函。???? n n n x x X, x x f x f x ? ? ?(3)若对任意, 时,必有, f X 则称为上的连续泛函。?设x,y,z X,有 x, y) x y x z z y ? ??????( x z z y (x, z) (z, y) ? ??????? n n i i i 1 R x y y ??? 在 中的内积: x,y ,若对固定的, ? ? x X , 就有一个 x,y 与此对应,所以我们可以把 n x,y 看作R 中的一个泛函: ( ) ?? ?? n i i i 1 y x x,y x y ( ) ? ???? 1 2 1 2 1 2 由于 y x x x x ,y x ,y x ,y ( ) ( ) ? ? 1 2 y x y x ; ( ) ( ) ? ?????? y x x,y x,y y x ? x,y 是线性泛函。 y x y M ? ? ?由于 x,y ,令 , ? x,y 也是有界泛函。由定义知 x,y 还是连续泛函。( , , , ) ? n 1 2 n 商品空在经济学中,如果间, 把 R 作为 x x x …x ??? n i i i 1 有界线性泛函 x,y x y , 价格就是在体系 y中购买商品x应付的值。( , , ..., ) ? 1 2 n 看作 y y y y 看作相应商品