不定积分的计算.pdf

§ 不定积分的计算一、凑微分法三、分部积分法二、换元积分法四、有理函数积分法五、其它类型的积分举例一、凑微分法 2 d x ex ? 2 2d 2 x e x ?? 2 d(2 ) 2 x e x ??(2) ux ?令 d 2 u e u ??? 2 u e C ?? 2 2 x e C ?? 1 d 1 x x ?? 1 d( 1) 1 x x ????(1) ux ??令 1 d u u ?? ln | | uC ?? ln | 1| x C ???将上述步骤写为一般形式: ??() ()d f xxx ?????? d() x ???() f x ???(()) ux ??令()d f uu ???( 若已知) ()Fu C ????() FxC ???定理( 凑微分法:不定积分的第一换元积分法) ()d () , fxxFxC ???若已知() ux ??而是任一可微函数, ????() ()d () f xxxFxC ???????则. ??????() () () () () Fx Fxxfxx ???????????????证例 1 sin 2 d . x x ?求 sin 2 d x x ? 1 sin 2 d(2 ) 2 x x ?? 1cos 2 ; 2 x C ?? ? sin 2 d x x ? 2sincosd x xx ?? 2sind(sin) x x ?? 2 sin ; x C ?? sin 2 d x x ? 2sincosd x xx ?? 2cosd(cos) x x ??? 2 cos . x C ?? ?解法 1 解法 2 解法 3 例 2. ()d(0,1). m ax b x a m ?????求解: , uaxb ??令则, d d x a u ?故原式= ? m u u a d 1 a 1 ? C u m m ???? 1 1 1 1 ) ( ) 1 ( 1 ???? m b x a m a C ?注: 当 1 ?? m 时??? b x a x d 1d( )1 ln ax b ax b C aaxba ????????? 2 2 ) ( 1 d 1 a x x a 例 3. 求??. d 2 2 x a x 解: ?? 2 2 d x a x , a x u ?令则 x a u d 1 d ??? 2 1 u u d a 1 C u a ?? arctan 1 C a x a ??) arctan( 1 想到公式?? 2 1 d u u C u ?? arctan ) ( a x ?例 4. 求???). 0 ( d 2 2 a x a x ??? 2 1 d u u 想到 C u ? arcsin 解: ?? 2 ) ( 1 d a x a x ?) ( d )) ( ( x x f ??( 直接配元) ??? x x x f d ) ( )] ( [ ????? 2 ) ( 1 ) ( d a x a x C a x ?? arcsin ??? 2 2 d x a x 例 5. 求 tan d . x x ?解: sin d cos x x x ???? x x cos cos d C x ??? cos ln cot d ? xx ??? x x x sin d cos C x ?? sin ln ?? x x sin sin d tan d x x ??类似 P264 1(8) C a x a x a ???? ln 2 1 例 6. 求. d 2 2 ?? a x x 解: 2 2 1 a x ??) )( ( a x a x ??) ( ) ( a x a x ??? a 2 1 ?) 1 1 ( 2 1 a x a x a ????∴原式= ??? a 2 1 ????? a x x a x x d d ??????? a 2 1 ??? a x a x ) ( d ???? a 2 1 ? a x ? ln a x ?? ln ? C ????? a x a x ) ( d 常用的几种配元形式: ??? x b x a f d ) ( ) 1 ( ??) ( b x a f ) ( d b x a ? a 1 ??? x x x f n n d ) ( ) 2 ( 1 ?) ( n x f n x d n 1 ?? x x x f n d 1 ) ( ) 3 ( ?) ( n x f n x d n 1 n x 1 ?? x x x f d cos ) (sin ) 4 ( ?) (sin x f x sin d ?? x x x f d sin ) (cos ) 5 ( ?) (cos x f x cos