无穷思想.ppt

我对“无穷”的认识：
1 量变 质变（微积分思想）
两个量的差是一个无穷小量，那么一旦达到“无限（无穷）时，它们就没有差别了。 （无穷极限思想）
2 部分＝全体（无穷集合基数）
无穷集合的全体与无穷子集有可能建立一一对应（对应思想）
两边相加
类比：
一些问题和观点
自然数有无穷多，偶数也有无穷多。
它们是否一样多？
直线是无限延伸，平面就无限大的。
直线和平面是看不到的？
有无穷多的元素有集合多（添）几个或少（去掉）几个，元素还是“一样多吗”。
神奇的希尔伯特旅馆？
有理数多，还是无理数多？
它们建立起一一对应关系吗？
德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。
一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。……
Hilbert 的旅馆
“一一对应” 的无穷魅力
自然数： 0，1，2，3，4，5，。。。
偶 数：0，2，4，6，8，10，。。。
哪一类数比较多呢？
有理数是可数的——与自然数一样多
比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。
1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。
康托（Georg Cantor; 1845—1918）
1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。
11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。
1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。
再数数平方数
这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？
1 2 3 4 5 6 7 8 …
12 22 32 42 52 62 72 82 …
       
知道了：
所有平方数和所有正整数都一样多！√
可列集
像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫做可列集。
因此偶数数集、平方数集都是可列集。