2.5.1平面几何的向量方法.pdf

平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和
几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向
量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，
这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大
的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜
明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、
全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性
运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法
可以解决平面几何中的一些问题。
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的
几何模型。如图，你能发现平行四边形对角
线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
DB AB AD, AC AB AD,
猜想： D C

与两条邻边长度之间有
何关系？
A B
，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。 D C
求证：AB 2  BC 2  CD2  DA2  AC 2  BD 2
分析：因为平行四边形对边平行且相
B
等，故设 AB  a, AD  b 其它线段对应向 A
量用它们表示。
解：设 AB  a, AD  b ，则 BC  b, DA  a, AC  a  b; DB  a  b
2 2
AB 2  BC 2  CD2  DA2  2( a  b )
2 2
AC 2  BD 2  a  b  a  b
2 2 2 2  2 2   2 2 
 a  2ab  b  a  2ab  b  2a  b   2 a  b 
   
∴ AB 2  BC 2  CD2  DA2  AC 2  BD 2
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题
的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的
“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表
示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题
转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关
系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2 如图，YABCD中，点E、F分别
是AD 、DC边的中点，BE 、BF分别
与AC交于R 、T两点，你能发现AR 、
RT 、TC