黄昆着固体物理习题解答.docx

黄昆着固体物理习题解答.docx设晶体中每个振子的零点振动能为—膈,使用德拜模型求晶体的零点振动能。
2
证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=OK时振动能就是各振动
模零点能之和。Eo = 和代入积分有
3V Q Q
Eo = *。—3绥「=旋N%，由于膈,“=幻％得Eq =-NkB0D
16〃 vs 8 8
一股晶体德拜温度为~io2k,可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能 相比拟.
7T
根据k = + 一状态简井微扰结果，求出与E及打+相应的波函数“及〃+?,井说明它们 a
，并比较两个电子云分布kF说明能隙的来源(假设K=v；)。
jr jr
〈解〉令k = +-, k'=——,简并微扰波函数为_ = +
a a
J [e°(z：)-e]a+v；b = o
J VnA + \E°(k')-E~]B=Q 取 E = E+
带入上式，其中E+=E\k) + \Vn\
V(x)<0，K < 0,从上式得到B= -A,于是
取E = E_, E_=E\k)-\y,\ \Vn\A = -VnB,得至\\A = B
由教材可知，W+及中—均为驻波. 在驻波状态下，电子的平均速度V(
驻波因为电子波矢k=—时，电子波的波长4=±=里，恰好满足布拉格发射条件，这 a k n
时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入
能量。
例2图白+及。一的电子云分布
马德隆常数的计算
＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离 子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号)，用r表 示相邻离子间的距离，于是有
纭切更=2[■上「一上+ ...] r j rtj r 2r 3r 4r
前边的因子2是因为存在着两个相等距离*的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面,
故对一边求和后要乘2,马德隆常数为
“111 、 a = 2[1 1 ...]
2 3 42 3 4
,/ (1 + %) = x - — + —- - —+ ... x 3 4
当 X=1 时，有 1 1 ... = £“2 cc = 2/ 2
2 3 4 n
电子在周期场中的势能.
V(x) = 0 , 当(n-l)a+b＜x＜n«-Z?
其中d=4b, ，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度.
＜解＞⑴题设势能曲线如下图所示.
(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以。为周期的周期函数，所以
V(x) = — j V(x) = — PV(x)d £ V(x)d .
L L Q心 Q人
题设a = 4》，故积分上限应为a — b = 3b ,但由于在也3同区间内V(x) = O,故只需在
[-。，，〃 =0,于是
V=- f V(x)t/x = ^-f (b~ -x2)dx = ^- b-x =-ma)b\
a J~h 2a n 2a 3 1 J 6
(3),势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
f
,,,、、, 白 u m兀,, 2 fib 〃1 兀, 1 rb m兀,
v(X)= vo+ 2^ K，=福■ L v(x)cos—— Xt7 V(x)cos—-xtZ .
2 ,
第一个禁带宽度功伟么|期式,m = l Eg〔 =-^y- £(Z?2 -x2)cos^t/x
利用积分公式 [u1 cos mudu = -^z- F(mw sin mz/ + 2 cos mw) 1 sinm” 得
J m L J m
Egi =四*》2第二个禁带宽度孔=2怕I，以优必式， 代入上式
=竺式「2_/)cos挡公再次利用积分公式有E；=警1》2
奂 b上 b 留 勿2
5,考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c和10
n 7T
相同，且最近邻间距为求在和k=-处的a)(k).
2 a
如％这样的双原子分子晶体。
12
M ~~r = c(K-i -11 s)+ioc (vs -u5),、
A
1 2t 7
心新^ = 18(%-V)+c(%+i-K),,
― ― isKa -icot t j t t isKa -icot
将us=u ee ,Vs = Ve e .代入上式有
-Mg)2u = C(10 + e~ika) V -1 ICw,]
-MarV = C[eika +10)w -11CV, J
是U, V的线性齐