高数高斯公式通量与散度 ppt课件.ppt

Green 公式
推广
Gauss 公式
高斯公式 通量与散度
2021/3/30
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一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
或
（1′）
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
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精品资料
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你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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证明:设
为XY型区域 ,
则
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所以
若不是XY－型区域 ,
则可引进辅助面
将其分割成若干个XY–型区域,
故上式仍成立 .
正反两侧面积分正负抵消,
在辅助面
类似可证
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
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（2）关于Ω的边界曲面的正向：
Ω是单连通区域时取外侧；Ω是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧。
关于高斯公式的说明 :
（1）如穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Σ的交点多于两个时，采用分块的方法…
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（3）高斯公式成立的条件： Σ光滑或分片光滑，
P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。
（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封闭，所围区域Ω。
及易于计算
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例1 用Gauss公式计算
其中为柱面
闭域  的整个边界曲面的外侧.
解 这里
利用Gauss 公式, 得
原式 =
(用柱坐标)
及平面z = 0,z = 3所围空间
思考 若  改为内侧, 结果有何变化?
若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
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例2 利用Gauss 公式计算积分
其中为锥面
解 作辅助面
取上侧
介于z = 0及
z = h 之间部分的下侧.
所围区域为,
则
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