帮你归纳总结(六)：导数中恒成立问题[来源：学优高考网282056].doc

帮你归纳总结(六)：导数中恒成立问题[来源：学优高考网282056]
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帮你归纳总结 (六）：导数中的恒成立问题
一、常见基本题型：
1）已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围；
2）让你去证明某个不等式恒成立。
解此类问题的指导思想是：构造函数，或参变量分离后构造函数，转化为求新函
数的最值问题。
例 1：已知函数 f ( x)
x2
2x
a ln x , 当 t
1时，不等式
f (2 t
1)
2 f (t )
3 恒成立，
求实数 a 的取值范围 .
解：不等式 f (2t
1)
2 f (t)
3 可化为 2t 2
4t
2
a ln t 2
a ln(2 t
1) ，
即 2t 2
a ln t 2
2(2t
1)
a ln(2 t
1)
.
记 g( x)
2x aln x( x
1) ，要使上式成立，
只须 g( x)
2x
a ln x(x
1)
是增函数即可 .
即 g '(x)
2
a
在[1,
)上恒成立，
0
x
即 a 2x 在 [1,
) 上恒成立，故 a
2 ，
所以实数 a 的取值范围是（ -
，2] .
例 2：已知 a 0 ，函数 f (x)
x2
2a(a 1) ln x
(3a
1)x ．
2
（ 1）若函数 f ( x) 在 x
1处的切线与直线
y
3x
0
平行，求 a 的值；
（ 2）在（ 1）的条件下，若对任意
x
1,2 ， f ( x)
b2
6b
0恒成立，求实数
b 的
取值组成的集合．
解：（ 1） f '(x) x
2a(a
1)
(3a
1) ，由已知 f
'(1)
3 ，
x
即 2a2
a
3 ，
2a2
a
3
0 ，解得 a
3
或 a
1 ,
3
2
又因为 a
0
，所以
.
a
2
（ 2）当 a
3
x2
15
11x
时， f ( x)
2
2
l