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线性代数自考知识点汇总情况
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线性代数自考知识点汇总情况
行列式
行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等
T
D D .
性质 2 互换行列式的两行（列） ，行列式变号 .
推论 1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零 .
a b c
如
a b c 0
a b c
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式 .
a a a a a a
11 12 13 11 12 13
如
ka ka ka k a a a
21 22 23 21 22 23
a a a a a a
31 32 33 31 32 33
推论 2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．
a b c
如
a b c 0
ka kb kc
性质 4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和 .
a a a a a a a a a
11 12 13 11 12 13 11 12 13
如
a a a a a a a a a a a a
21 21 22 22 23 23 21 22 23 21 22 23
a a a a a a a a a
31 32 33 31 32 33 31 32 33
性质 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行 (列)对应的元素上去，行列式的
值不变 .
a a a a a a
11 12 13 11 12 13
如
a a a a a a
21 22 23 21 22 23
a a a a ka a ka a ka
31 32 33 31 11 32 12 33 13
余子式与代数余子式
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在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的余子

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式，记作 M ij ，
i j
A ( 1) M 叫做元素 aij 的代数余子式．
ij ij
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
a a a
31 32 33
，元素 a23 的余子式为
M
23
a a
11 12
a a
31 32
如 ，
元素 a23 的代数余子式为
2 3
A ( 1) M
23 23
a a
11 12
a a
31 32
.
行列式按行（列）展开法则
定理 1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a A a A L a A 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj
i 1 i 1 i 2 i 2 in in
i 1,2, L ,n; j 1,2 L n
a a a
11 12 13
如
a a a
21 22 23
a A a A a A
11 11 12 12 13 13
a a a
31 32 33
定理 2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a 1Aj a 2 Aj L a A 0, 或 a1 j A1 j a2 j A2 j L anj Anj 0, i j.
i 1 i 2 in jn
i 1,2, L ,n; j 1,2L n
行列式的计算
（1 ）二阶行列式
a a
11 12
a a
21 22
a a a a
11 22 12 21
（2 ）三阶行列式
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a a a
31 32 33
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1 1
n( m 1 )
（3 ）对角行列式
2
O
L
1 2 n
，
N
2
2
( 1) L
1 2 n
n n
第 2