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抽象函数奇偶性的判定.docx


文档分类:中学教育 | 页数:约3页 举报非法文档有奖
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抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
专题一抽象函数奇偶性的判定及应用
探究一:抽象函数的单调性和奇偶性问题
抽象函数的具体模型
类型一:抽象函数证明函数的奇偶性问题
① ,满足,如何证明为奇函数?
② ,满足,如何证明为偶函数?
类型二:抽象函数证明函数的单调性问题
① 若且、证明其单调性
② 若、证明其单调性
探究二:函数性质(单调性、奇偶性)定义经典试题
一、判断单调性和奇偶性
判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。
例 1.如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为 5,那么在区间上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析:画出满足题意的示意图,易知选 B。
例 2.偶函数在上是减函数,问在上是增函数还是减函数,并证明你的结论。分析:如图所示,易知在上是增函数,证明如下:
任取
因为在上是减函数,所以。

又是偶函数,所以,
从而,故在上是增函数。
判断奇偶性
根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求与的关系。例 3.若函数与的图象关于原点对称,判断:函数
是什么函数。
解:设图象上任意一点为 P()与的图象关于原点对称,关于原点的对称点在的图象上,

即对于函数定义域上的任意 x 都有,所以是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性

例 4.已知对一切,满足,且当时, ,求证:( 1)时,( 2)在 R 上为减函数。
证明:对一切有。
且,令,得,
现设,则,, 而

设且, 则
, 即为减函数。

例 5.已知的定义域为 R,且对任意实数 x,y 满足,求证:是偶函数。
分析:在中,令,

令,得
于是 故是偶函数。
三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉 “”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。
例 6.已知是定义在()上的偶函数,且在( 0,1)上为增函数,满足,试确定的取值范围。
解:是偶函数,且在( 0, 1)上是增函数, 在上是减函数,
由得。
( 1)当时, ,不等式不成立。
2)当时,
(3)当时,
综上所述,所求的取值范围是。
四、不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通过函数的单调性去掉函数符号 “”,转化为代数不等式求解。
例 7.已知函数对任意有,当时, ,,求不等式的解集。
解:设且 则 ,即,
故为增函数,

因此不等式的解

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  • 时间2021-11-27