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《最优化方法》复习题.doc


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文档列表 文档介绍
《最优化方法》复****题
LT
《最优化方法》复****题
简述题
1、怎样判断一个函数是否为凸函数.
(例如: 判断函数是否为凸函数)
2、写出几种迭代的收敛条件.
3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法(包括大M法及二阶段法).
见书本61页(利用单纯形表求解);
69页例题 (利用大M法求解、二阶段法求解);
4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点.
简述共轭梯度法的基本思想.
写出Goldstein、Wolfe非精确一维线性搜索的公式。
5、叙述常用优化算法的迭代公式.
(1):
(2)Fibonacci法的迭代公式:.
(3)Newton一维搜索法的迭代公式: .
(4)推导最速下降法用于问题的迭代公式:
(5)Newton法的迭代公式:.
(6)共轭方向法用于问题的迭代公式:

二、计算题
双折线法练****题 课本135页
FR共轭梯度法例题:课本150页
二次规划有效集:,
所有留过的课后****题.
三、练****题:
1、设是对称矩阵,,求在任意点处的梯度和Hesse矩阵.
解 .
2、设,其中二阶可导,,试求.
解 .
3、证明:凸规划的任意局部最优解必是全局最优解.
证明 用反证法.设为凸规划问题的局部最优解,即存在的某个邻域,使.若不是全局最优解,则存在,使.由于为上的凸函数,因此
,有

当充分接近1时,可使,于是,矛盾.从而是全局最优解.
4、已知线性规划:
(1)用单纯形法求解该线性规划问题;
(2)写出线性规划的对偶问题;
解 (1)引进变量,将给定的线性规划问题化为标准形式:
故.
6、用最速下降法求解 ,取,迭代两次.
解 ,
将写成的形式,则.
第一次迭代:

第二次迭代:

7、用FR共轭梯度法求解 ,取,迭代两次.若给定判定是否还需进行迭代计算.
解 ,
再写成,,.
第一次迭代:
,令,
从出发,沿进行一维搜索,即求的最优解,得

第一次迭代:
.,

从出发,沿进行一维搜索,即求
的最优解,得

此时

得问题的最优解为,无需再进行迭代计算.
8、求解问题 (方法不限定)
取初始点.
9、采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题:
解:取
第一步迭代:
,,令,求得;
第二步迭代:
,,
,,令,求得。故,由于,故为最优解。
10、用有效集法求解下面的二次规划问题:
解:取初始可行点求解等式约束子问题

得解和相应的Lagrange乘子

转入第二次迭代。求解等式约束子问题

得解



转入第三次迭代。求解等式约束子问题

得解和相应的Lagrange乘子

由于,故得所求二次规划问题的最优解为

相应的Lagrange乘子为

最速下降法的优缺点:
优点:方法简单,计算量较小;最速下降法为全局收敛,对初
始点的要求很少。
缺点:最速下降法的收敛速度与变量的尺度关系很大,对有些
例子,在极小点附近产生显著的锯齿现象,收敛十分缓慢;最
速下降法的最速下降仅是一种局部性质,即从局部来看目标函数
的值下降得最快,但从总体来看它可能走了许多弯路。
牛顿法的优缺点:
优点:牛顿法的收敛速度快,为二阶收敛;公式简单,
计算方便。
缺点:牛顿法要求f(x)二阶可微,迭代中需多次计算
;牛顿法具有局部收敛性,对初始点的要求比较苛刻。
共轭梯度法的优缺点:
优点:计算公式简单,存储量较小,对初始点要求很少,对二
次函数具有二次终止性;收敛速度介于最速下降法和牛顿法之
间,对高维(n 较大)的非线性函数具有较高的效率。对于二
次函数具有二次终止性,一般情况下优于共轭梯度法。
缺点:共轭梯度法的收敛性依赖于精确的一维搜索,计算量较
大;共轭梯度法的一些理论背景至今尚不清楚,如周期性的重新
开始,初始搜索放心的选取,一维搜索的精确

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  • 文件大小3.13 MB
  • 时间2021-11-28