高中数学教材中的经典问题与变式.doc

高中数学教材中的经典问题与变式
（8）数列
类型1：有关通项问题
1、利用求通项．
（北师大版第23页****题5）数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？
变式1：设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；
解：（1）：当
故{an}的通项公式为的等差数列.
变式2：数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．
解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得
，，，
由（n≥2），得（n≥2），
又a2=，所以an=(n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为
变式题3：已知数列的首项前项和为，且，
证明数列是等比数列．
解：由已知可得两式相减得
即从而当时所以又所以从而
故总有，又从而即数列是等比数列；
类型2：解方程求通项
2.（）在等差数列中，
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求；
（3）已知，，求；
（4）已知，，求．
解：（1）； （2）； （3）； （4）.
变式1：是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（ ）
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出.
解：，解得，选C
点评：等差等比数列的通项公式和前n项和的公式是数列中的基础知识，，利用方程思想解决问题.
类型3：待定系数求通项
3.（）写出下列数列的前5项：（1）
解：；
变式1：已知数列满足 求数列的通项公式；
解：
是以为首项，2为公比的等比数列． 即　
类型4：由前几项猜想通项
4.（北师大版第10页****题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.
（1）
（4）
（7）
（ ）
（ ）
变式1：如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，“扩展”而来的多边形的边数为，
则 ； ＝ .

解：由图可得：，所以；又
所以=
变式2：观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 .
2条直线相交，最多有1个交点
3条直线相交，最多有3个交点
4条直线相交，最多有6个交点
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
解：由题意可得：设为条直线的交点个数，则，，因为，由累加法可求得：，所以，选B.
类型5：有关等差、等比数列性质问题
5.（北师大版第35页****题3）一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
变式1：一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为