计算方法 线性方程组的迭代解法.ppt

计算方法 线性方程组的迭代解法
第一页，课件共50页
三、小结
二、线性方程组的解法
一、线性方程组有解的判定条件
回顾
《线性代数》中线性方程组的解法
第二页，课件共50页
一、线性方程组有解的判定条件
一、线性方程组有解的判定条件
定理4 n 元线性方程组Ax=b
(i)无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b);
(ii)有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;
(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n.
当R(A)=R(B)=r<n时，n元线性方程组可由含有n-r个参数的解来表示，这是线性方程组的通解。
第三页，课件共50页
定理
定理5 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b).
定理6 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n.
定理7 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).
定理8 设AB=C，则R(C)min{R(A),R(B)}.
定理9 矩阵方程AX=0只有零解的充分必要条件是R(A)=n
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小结
有唯一解
b
Ax
=
(
)
(
)
n
B
R
A
R
=
=
Û
(
)
(
)
n
B
R
A
R
<
=
Û
有无穷多解.
b
Ax
=
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
当R(A)=R(B)=r<n时，由于含有n-r个参数的解可表示线性方程组的任一解，因此称为线性方程组的通解。
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二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组
解
二、线性方程组的解法
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即得与原方程组同解的方程组
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由此即得
方程组的通解是：
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例２ 求解非齐次线性方程组
解
对增广矩阵B进行初等变换，
,
3
)
(
,
2
)
(
=
=
B
R
A
R
由于，
故方程组无解．
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例３ 求解非齐次方程组的通解
解 对增广矩阵B进行初等变换
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