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例谈构造函数法在证明不等式中的应用
摘 要：数学中有关不等式证明的问题很多，解决方法也是多种多样，从教学中遇到的不等式证明问题出发，归纳小结函数在证明不等式中的应用。
关键词：不等式 函数 构造
不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面，而运用函数思想证明不等式，一直都是高中数学的一个重要方法。函数是高中数学的基础，，我们可根据不等式的结构特点，构造函数，利用函数的单调性、最值等性质，灵活、巧妙地证明不等式.
我们把函数思想应用于不等式的证明中，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用函数的性质来证明不等式。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助函数来证明不等式。
类型一：直接构造函数比较大小
通过观察式子的结构特点，寻找变量和不变量，探索变量与变量之间的关系，归纳变量的特征，构造函数，利用函数性质求解相应问题。此类问题多在选择、填空题中出现。
例1：若则（ ）
A. a﹤b﹤c ﹤b﹤a ﹤a﹤b ﹤a﹤c
思路分析：a,b,c的值可看作函数的特值，可通过研究的单调性比较a,b,c的大小。
解：构造函数
则
当时，
所以，函数在上是增函数，
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则即，
故 ，选A
点评：本题可通过观察发现三个式子的变量和不变量，从而构造函数。
类型二：做差构造函数证明不等式
在具体问题中，如果要证明对任意的都有，可设只要利用导数说明在上的最小值为0即可。
，求证：不等式成立。
思路分析：通过作差构造函数研究在上的单调性。
证明：设
则
当时，，因此在内是增函数，于是当时，
∴当时，不等式成立。
点评： 此种类型易于发现所需函数，题目较为常见。
类型三：间接构造函数证明不等式
在有些不等式在证明过程中，很难直接找到所需函数，这时可以利用逆向思维策略，变换视角，从待证结论出发，顺次寻找结论成立的充分（充要）条件，直至题设或出现显然的数学事实。
，证明：
思路分析：此题难点在于所证结论的形式中有指数形式，并且左右两侧各自的变量都含和 ，不能直接构造函数，为此可以对所证结论形式做适当的变型，先去掉指数
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，再将和 分离到不等号两端，则可构造函数，根据有，再利用函数单调性证明。
证明：设且
∴
∵ ∴ 且
∴ 即在上为减函数
∵ ∴
∴ 则
评注：本题关键是找函数，难点在于待证结论形式和变量。在平时应注意逆向分析的训练。
类型四：利用题设条件构造函数证明不等式
有部分不等式证明问题，其待证结论形式较繁琐不易变形时，可以将待证结论与题设条件（最好是已有函数）做一对比，找出相同点与不同点，在对待证结论进行分解构造函数。