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三次函数性质总结
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三次函数性质的探索
我们已经学****了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？
利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．
其中运用的较多的一次函数不等式性质是：在[m，n]上恒成立的充要条件


接着，我们同样学****了二次函数，图象大致如下：
　　 图1                            图2
利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，
对称轴上取得最小值；

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当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，
对称轴上取得最大值．
在某一区间取得最大值与最小值．
其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．
总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？
三次函数专题
一、定义：
定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。特别是文科。

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①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，
则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；
②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，
此时y=f（x）没有极值点；

x
(-∞,x0)
x0
（x0，+∞)
f/（x）
+
0
+
f(x)
↗

↖
③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。
：函数当且仅当时是奇函数。

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4．对称性：函数图象关于点中心对称（了解）
证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即
+，
整理得，
据多项式恒等对应系数相等,可得
且=，
从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；

证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以
化简得：
上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
实际上：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝

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的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
由上又可得以下结论：
是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
证明 的图象关于对称，则

图象关于直线对称.
若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
证明 图象关于直线