函数的单调性2.ppt

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课 题：（二）
教学目的：巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函
数单调性的方法和步骤；
教学重点：熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤.
教学难点：函数单调性的讨论
教学方法：四环递进教学法
学法指导：掌握判断证明函数单调性的一般步骤；
运用转化的思想，数形结合的思想；
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
一层练****br/>f (x1) < f (x2­)
f (x1) > f ( x2)
1、对于函数f(x)的定义域I内某个区间
上的任意两个自变量的值x1 , x2
⑴若当x1 < x2 时，都有 ,
则说f(x)在这个区间上是增函数；
⑵若当x1< x2 时，都有 ,
则说f(x)在这个区间上是减函数.
二层练****br/>2、证明函数f(x)=2x+1在R上是增函数.
3、证明函数f(x) =
1
x
在(0,+∞)上
减函数.
2、证明函数f(x)=2x+1在R上是增函数.
证明：设 x1 < x 2
则f ( x1) – f ( x2 )=（2x1 +1）-( 2x 2+1）
= 2(x1 – x 2)
∵ x1 < x 2 ∴x1 - x 2 < 0
∴f ( x1) – f ( x2 ) < 0
即 f ( x1) < f ( x2)
∴ f (x)=2x+1在R上是增函数.
3、证明函数f(x) =
1
x
在(0,+∞)上是减函数.
证明：设0 < x1 < x2
则 f ( x1) –f (x2) =
1 x1
1 x2
=
-(x1 –x2)
x1·x2
∵0 < x1 < x2 ∴x1 - x2 < 0, x1·x2 > 0
∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0
即 f ( x1) > f ( x2)
∴f(x)=
1
x
在(0,+∞)上是减函数.
小结：
判断证明函数单调性的一般步骤：
⑴设x1 ，x2是给定区间内的任意两个值，
且x1 < x 2；
⑵作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注
意变形的程度）；
⑶判断f(x1)－f(x2)>的正负（要注意说
理的充分性）；
⑷根据f(x1 )－f(x2)的符号确定其单调性.
三层练****br/>4、证明函数f(x)=
x+2
x+1
在(-1,+∞)上
是减函数.
4、证明函数f(x)=
x+2
x+1
在(-1,+∞)上是减函数.
证明：设-1 < x1 < x2
则 f ( x1) –f (x2) =
x1+2
x1+1
x2+2
x2+1
=
-(x1- x2)
(x1+1)(x2+1)
∵-1< x1 < x2 ∴x1 - x2 < 0,
∴ x1+1 > 0 , x2+1 >0 ∴ (x1+1)(x2+1)>0
∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0
即 f ( x1) > f ( x2)
∴f(x)=
x+2
x+1
在(-1,+∞)上是减函数.
小结：
变形差式f(x1)－f(x2)的常用方法：
⑴分解因式；
⑵通分；
⑶分子有理化等。
其目的是为了判断f(x1)－f(x2)的符号。