§13.1函数列与函数项级数一致收敛性解析.doc

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第十三章函数列与函数项级数
§1一致收敛性
( 一 )教学目的：
掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判
别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
( 二 )教学内容：
函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的
柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
基本要求：
1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致
收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数 项级 数的概念及一致收 敛的概念和性 质；掌握函数 项级数的几个重要判 别法，并能利用它 们去进行判 别；掌握一致收 敛函数列与函
数项级 数的极限与和函数的 连续 性，可 积性，可微性，并能 应用它 们去解决 问题。3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判
别及应用。
( 三 )教学建议：
要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
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一 函数列及其一致收敛性
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对定义在区间 I
上的函数列 { f n (x) },
x E ，设 x0
E ，若数列 { f n ( x0 ) } 收敛，
则称函数列 {
f n ( x) } 在点 x0
收敛， x0 称为函数列 { f n ( x) } 收敛点；若数列
{ f n (x0 ) } 发
散，则称函数列
{ f n (x) } 在点 x0
发散。
使函数列 { f n ( x) } 收敛的全体收敛点集合称为函数列
{
f n ( x) } 收敛域（
注意定义域与
收敛域的区别
）。
若函数列 { f n ( x) } 在数集 D
E 上每一点都收敛，则称函数列
{ f n ( x) } 在数集 D上收
敛，这时 D上每一点 x ，都有函数列的一个极限值
lim
f n ( x)
f ( x)
n
与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列
{ f n ( x) } 的极限函数。
逐点收敛 (
或称为“点态收敛”
) 的“
N”定义.
例1 对定义在 (
,
) 内的等比函数列
f n (x)
xn , 用“
N ”定义
验证其收敛域为
( 1,1]
,
且
lim
f n (x)
lim xn
0 ,
| x |
1 ,
n
n
1,
x
1.
例 2
f n (x)
sin nx .
用“
N ”定义验证在 (
,
) 内 lim
f n (x) 0 .
n
n
函数列的一致收敛性：
设函数列
{
f n ( x) } 在 E 上收敛于
f ( x) ，若对任意的
0 ，存在自然数
N N( )，当
n
N 时，对 E 中一切
x 都有
f n ( x)
f (x)
则称函数列 {
f n ( x)} 在 E 上一致收敛于
f ( x) 。
注意这里的 N 只与 有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。
一致收敛的几何意义
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