常微分方程教案().ppt

常微分方程课件
制作者：闫宝强，傅希林，刘衍胜，范进军，劳会学，张艳燕
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第一章 初等积方法
第五章 定性与稳定性概念
第三章 线性微分方程
第二章 基本定理
第四章 线性微分方程组
第六章 一阶偏微方程初步
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第1讲　微分方程与解
微分方程
　　什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.
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300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，，，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，，，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
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例1 物体下落问题　　设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.　　解 如图1-1建立坐标系，
加速度为
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质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，　　　　　　　　　　　　F = ma 　　　　(力=质量×加速度)　　可以列出方程
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()其中k ＞ 0为阻尼系数，g是重力加速度.　　()式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，，我们还不会求解方程()，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程()可化为　　　　　　　　　　　　　　　　　　（）
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将上式对t积分两次得
()
一般说来，微分方程就是联系自变量、，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，，有时就简称微分方程或方程.
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例如下面的方程都是常微分方程
()
()
()
()
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在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，，一阶常微分方程的一般形式可表为
()
如果在()中能将y′解出，则得到方程
()
()
或
()称为一阶隐式方程,()称为一阶显式方程，()称为微分形式的一阶方程.
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