同济大学工程数学线性代数第六版(全).doc

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第一章行列式
利用对角线法那么计算以下三阶行列式
(1)
2
0
1
1
4
1
1
8
3
解
2
0
1
1
4 1
1
8
3
2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8
0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1)
24 8 16 44
a b c
b c a c a b
a b c
b c a c a b
acb bac cba bbb aaa ccc
3abc a3 b3 c3
1 11
a b c a2 b2 c2
1 11
a b c a2 b2 c2
bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2
(a b)(b c)(c a)
xy x y
(4) y x y x
x y xy
xy x y
解y x y x
x y xy
x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3
2(x3 y3)
2按自然数从小到大为标准次序求以下各排列的逆序
数
(1)1 2 3 4
解逆序数为 0
(2)4 1 3 2
解逆序数为 4 41 43 42 32
(3)3 4 2 1
解
逆序数为 5
3 2
3 1
4 2
4 1, 2 1
(4)2 4 1 3
解
逆序数为 3
2 1
4 1
4 3
(5)1 3
(2n
1) 2 4
(2n)
解
逆序数为 n(n
1)
2
3 2 (1 个)
5 2
5 4(2 个 )
7 2 7 4 7 6(3 个)
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(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n 1)(2n 2) (n 1 个)
(6)1 3
(2n
1) (2n) (2n
2)
2
解 逆序数为 n(n 1)
3 2(1 个 )
5 2 5 4 (2 个 )
(2n
1)2 (2n 1)4 (2n 1)6
(2n 1)(2n 2) (n 1 个)
4
2(1 个 )
6
2
6 4(2 个 )
(2n)2 (2n)4 (2n)6(2n)(2n 2) (n 1 个 )
写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项
解含因子 a11a23的项的一般形式为
( 1)ta11a23a3ra4s
其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个
即 24 和 42
所以含因子a11a23的项分别是
( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42
计算以下各行列式
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1 2 4
1 2 0 2
10 5 2 0
1 1 7
4
1 2 4
c
c
4
1 2
10
4
1
10
解
1
2 0 2
2
3
2
0
2
1
1
2
2 ( 1)4 3
10 5 2 0
c4
10
3
2
14
10 3
14
0
1 1 7
7c3 0
0 1 0
4
1 10
c2
c3
9
9
10
0
1
2
2
c1
21 c3
0
0
2
10
3
14
17 17 14
2 1 4 1
3 1 2 1
1 2 3 2
5 0 6 2
2
1
4 1
c c
2
1
4 0
r r
2
1
4 0
解
3
1 2 1
4
2
3
1 2 2
4
2
3
1 2 2
1
2
3 2
1
2
3 0
1
2