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中考数学 数形结合专题.doc


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中考数学_数形结合专题. .
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第九讲数形结合思想
[中考热点分析]
数形结合思想是数学中重要的思想方法,它根据数学问题中的条件和结论之间的在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙的结合起来,并充分利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观,便于理解;代数方法的一般性,解题过程的操作性强,便于把握。
[经典考题讲练]
例1.(2015)如图,已知直线分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是.
例2.(2014•)已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线()过点A、B,顶点为C.点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式与顶点C的坐标.
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值围.
(3)若,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t()个单位,点P、C移动后对应的点分别记为、,是否存在t,使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短?若存在,求t值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
解析:(1)待定系数法求解析式即可,求得解析式后转换成顶点式即可.
(2)因为AB为直径,所以当抛物线上的点P在⊙C的部时,满足∠APB为钝角,所以-1<m<0,或3<m<4.
(3)左右平移时,使A′D+DB″最短即可,那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″,得到直线P″C″的解析式,然后把A点的坐标代入即可.
答案:(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:
抛物线解析式为
顶点横坐标,将代入抛物线得
. .
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(2)如图,当时,设,

过作直线轴,
(注意用整体代入法)
解得
,
当在之间时,
或时,为钝角.
(3)依题意,且
设移动(向右,向左)
连接

又的长度不变
四边形周长最小,只需最小即可
将沿轴向右平移5各单位到处
沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时,最小,且最小为,此时
,设过的直线为,代入
∴即
将代入,得:,解得:
∴当,P、C向左移动单位时,此时四边形ABP’C’周长最小。
. .
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例3.(2012)如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,,.(1)求∠COB的度数;(2)求⊙O的半径R;(3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
解:(1)∵AE切⊙O于点E,∴OE⊥AE,
∵OB⊥AT,∴在△CAE和△COB中,∠AEC=∠CBO=90°,
而∠BCO=∠ACE,∴∠COB=∠A=30°.(3分)
图(1)
(2)在Rt△ACE中,AE=3,∠A=30°,
∴EC=AE·tan30°=3.
如图(1),连接OM,
. .
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在Rt△MOB中,OM=R,MB==,
∴OB==.
在Rt△COB中,∠COB=30°,
∴OC=.
∵OC+EC=R,∴·+3=R
整理得R2+18R-115=0,即(R+23)(R-5)=0,
∴R=-23(不符合题意,舍去),或R=5,∴R=5.(8分)
(3)在EF的同一侧,满足题意的三角形共有6个,如图(2)(3)(4),每个图有2个满足题意的三角形.
能找出另一个顶点也在⊙O上的三角形,如图(1),延长EO交⊙O于D,连接DF,则△DFE为符合条件 的三角形.
图(2)     图(3)   图(4)
由题意得,△DFE∽△OBC.
由(2)得,DE=2R=10,OC==2,∴===5.(14分)
[解答策略提炼]
解题策略,数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面,即用数形结合思想解题可分两类:一是依形判教,用形解决数的问题,常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题;二十就数论形,用数解决形的问题,常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题。

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  • 时间2021-12-03