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连续介质力学连续介质力学理学院力学系韩斌 2008-03—2008-06 第二章变形和运动(c) 34 2 第二章变形和运动—小结为研究介质的变形与运动, 在两个构形中共引进了四种坐标系: b ? O X ? t 0 时刻,参考构形 R o x ? t 时刻,当前构形 r Xd ? xd ?),(tXxx ???= { X A } { x i , t 0 } { x i } { X A , t } ),(txXX ???= 变形梯度和相对变形梯度变形梯度和相对变形梯度( ( 续续) ) 6. 6. 构形构形, , 坐标系坐标系, , 基矢基矢, , 度量张量与变形梯度度量张量与变形梯度,Cauchy ,Cauchy - - Green Green 张量张量, , 伸长张量伸长张量小结小结 F ? BC ?? , VU ?? , 3 第二章变形和运动—小结参考构形 R 当前构形 r 坐标系物质系{ X A } 随体系{ x i , t 0 } 空间系{ x i } 随体系{ X A , t } 协变基逆变基度量张量同构形中不同坐标基矢转换不同构形中坐标基矢转换 A A X X G ??= ?? i i x X c ??= ?? i i x x g ??= ?? A A X x C ??= ?? B ABAGGG ??= j ijiggg ??= j ?? 1 ?= B ?? 1 ?= BAAB BAAB GGG GGG?????= ?= ???= ? 1 ???= jiijggg ???= jiijggg ???= ???= ???= ? 1 i i AAgxC ??, = A A iiGXc ??, = iA i A gXC ??, = Ai A i Gxc ??, = i A i A gGg ??= i AA i gGg ??= i i AAggG ??= i iAAggG ??= A A iiGgg ??= A AiiGgg ??= B B i i AA GgxC ??, = B i A B iA CgXG ??, = j j A A ii ggXc ??, = j A i j Ai cgxg ??, = 4 第二章变形和运动—小结参考构形 R 当前构形 r 坐标系物质系{ X A } 随体系{ x i , t 0 } 空间系{ x i } 随体系{ X A , t } 基矢量变形梯度( 两点张量) 右 Cauchy- Green 张量右伸长张量左 Cauchy- Green 张量左伸长张量 i i A i i A A A cgGg xG C F ???????=== , A A i A A i i i CGgGXg c F ???????=== ?, 1 B AMB AM BM MB T GGCGG G C FFC ???????= = ?= B AMB AM BA AB CGC C G FFcB ????????= = ?== ? 1 A G ? A G ? i c ? i c ? i g ? i g ? A C ? A C ? TFFV ????= FFU T ????= URF ????= RVF ????= 5 第二章变形和运动—例题 7. 7. 例题例题 X 3 X 2 X 1 3 e ? 1 e ? 2 e ? x 2 x 1 x 3 例 2-1 三维均匀拉伸取物质坐标系{ X A } 与空间坐标系{ x i } 为同一个直角坐标系,取基矢量 分别沿 3 个拉伸方向: },,{321eee ??? 332 21 1 XxXx X x ?μλ= = = Ai i A A i i A eexGg x F ?????∵, , == [] [] ??????????== ∴?μλ 00 00 00 , i AxF ?[] ??????????== ??????∴??μλ/100 0/ 10 00/ 1 , 1 A iXF ??μλ 3 3 2 2 1 1 , , x X x X x X = = = 可反解出: iA A i i A A i eeXgG X F ?????∵, , 1 == ? 6 第二章变形和运动—例题 X 3 X 2 X 1 3 e ? 1 e ? 2 e ? x 2 x 1 x 3 [] [] ??????????== ∴?μλ 00 00 00 , i AxF ?[] ??????????== ??????∴??μλ/100 0/ 10 00/ 1 , 1 A iXF ? T T FFBFF C ??????∵?=?= [] [] ??????????=?= ∴ 2 2 2 00 00