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与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法
一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊
的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。
一、换元
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例 1 方程 x -2x-5|x-1|+7=0 的所有根的和是 ( )
A、 -2 B、0 C、2 D、4 (93 年“希望杯”竞赛题 )
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解：原方程为 (x-1) -5|x-1|+6=0
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即|x-1| -5|x-1|+6=0
令|x-1|=A ，则方程变为
A2-5A+6=0
∴1=2，A2=3
由|x-1|=2 ，得 x1=3，x2=-1 ；
由|x-1|=3 ，得 x3=4，x4=-2 。
x1+x2+x3+x 4=4
故选 D。
二、降次
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例 2 已知 α、β 是方程 x -x-1=0 的两个实数根，不解方程，求 a +3β 的值。 (96 年江苏省竞赛题 )
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解：∵ α 是方程 x -x-1=0 的根，
2 2
∴α - α-1=0 ， α =α+1( 二次转化为 1 次 )
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α =( α+1) =α +2α +1=α+1+2α+1=3α +2( 四次转化为一次 )
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∴α +3β=3α+2+3β=3( α+β)+2=3×1+2=5
三、整体代入
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例 3 设二次方程 ax +bx+c=0 的两根为 x1、x 2，记 S1=x 1+1993x 2，S2=x +1993x ，, ， Sn=x +1993x ，
则 aS1993+bS1992+cS1991= 。(93 年希望杯竞赛试题 )
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解：∵1、 x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根，
∴ax +bx1+c=0，ax +bx2+c=0。
aS1993 +bS1992+cS1991=a