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A4 计算数学
【学****百眼通】何岳山 编辑整理
计算数学也叫做数值计算方法或数值分析,是研究
计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科。主要
内容包括代数方程、 线性代数方程组、 微分方程的数值解法,
函数的数值逼近问题, 矩阵特征值的求法, 最优化计算问题,
概率统计计算问题等等,还包括解的存在性、唯一性、收敛
性和误差分析等理论问题。 五次及五次以上的代数
方程不存在求根公式,因此,要求出五次以上的高次代数方
程的解,一般只能求它的近似解,求近似解的方法就是数值
分析的方法。对于一般的超越方程,如对数方程、三角方程
等等也只能采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差
比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课
题。 在求解方程的办法中,常用的办法之一是迭代
法,也叫做逐次逼近法。迭代法的计算是比较简单的,是比
较容易进行的。迭代法还可以用来求解线性方程组的解。求
方程组的近似解也要选择适当的迭代公式,使得收敛速度
快,近似误差小。 在线性代数方程组的解法中,常
用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此
外,一些比较古老的普通消去法,如高斯法、追赶法等等,
在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。 在
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计算方法中,数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫
近似代替,就是用简单的函数去代替比较复杂的函数,或者
代替不能用解析表达式表示的函数。数值逼近的基本方法是
插值法。初等数学里的三角函数表,对数表中的修正值,就
是根据插值法制成的。 在遇到求微分和积分的时
候,如何利用简单的函数去近似代替所给的函数,以便容易
求到和求积分,也是计算方法的一个主要内容。微分方程的
数值解法也是近似解法。常微分方程的数值解法由欧拉法、
预测校正法等。偏微分方程的初值问题或边值问题,
常用的是有限差分法、有限元素法等。有限差分法的基本思
想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变
量的微分方程和定解条件。求出差分方程的解法作为求偏微
分方程的近似解。 计算数学的内容十分丰富,它在
科学技术中正发挥着越来越大的作用。计算问题可以说是现
代社会各个领域普遍存在的共同问题,工业、农业、交通运
输、医疗卫生

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