专题九线性赋范空间与巴拿赫空间g.ppt

专题九线性赋范空间与巴拿赫空间g
线性赋范空间与巴拿赫空间
专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间
有限维线性赋范空间—线性代数研究对象
无限维线性赋范空间—泛函分析研究对象
代数构造
最常用距离空间Rn, m, C[a,b], lp, Lp[a,b]
完备性
范数
线性赋范
空间
线性空间
距离
线性距离
空间
巴拿赫空间
线性运算按范数连续
线性运算按距离连续
几何构造
线性运算
距离空间
线性运算按范数连续
赋范空间
线性运算
|| x || = d(x,0)
线性运算按距离连续
|| x || = d(x,0)
又都是线性空间
d(x,y)=||x-y||
D
F
B
集合
距离
线性运算
线性空间
距离空间
集合
线性运算
距离
线性距离空间
线性赋范空间
代数构造
几何构造
线性运算按距离连续
|| x || = d(x,0)
d(x,y)=||x-y||
完备性
巴拿赫空间
赋范空间
范数
线性运算按范数连续
距离
线性运算
范数
线性运算
一、 线性空间
1 线性空间及其举例
定义1 设X是任一非空集合，假设K是一个数域〔R或C〕
如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且x,y,zX, ,K, 满足：
1) x+y=y+x 〔加法交换律〕
2) (x+y)+z+x+(x+y) 〔加法结合律〕
3) X, 使x+=x 〔零元素存在性〕
4) x’X,使x+x’= 〔逆元存在性〕
5) (x)=x=(x) 〔数乘结合律〕
7) (+)x=x+x 〔元素对数的加法分配律〕
8) (x+y)=x+y 〔数对元素的加法分配律〕
6) 1x=x, 0x=
那么称x+y为x与y的和，x为数与x的数乘 , 称X为线性空间或向量空间 (实或复)，X中的元素称为向量。
例1 欧氏空间Rn 是有限维线性空间
且满足1)—8)
零元
逆元
例2 m是线性空间， lp 是线性空间
证：
零元
逆元
且满足1)—8)
证：
例3
都是无限维线性空间
（或 ）
按通常的函数加法与数乘运算有：
（或 ）
（或 ）
零元
故
都是线性空间
证：
逆元
且满足1)—8)
或（ ）
（或 ）
定义2 〔线性子空间〕设X是线性空间，MX，如果x,yM, ,K, 对于X中的加法和数乘运算，有x+yM, 那么称M是X的线性子空间。
假设MX，那么称M为X的线性真子空间。
定义3 〔由子集张成的线性子空间〕设X是线性空间，MX。定义集合L：
称L为由子集MX张成的线性子空间。
注：spanM是包含M的最小线性子空间。
即假设L0也是包含M的线性子空间，必有
2 线性子空间
定义3 (有限维线性空间的基和维数)
1〕e1,e2,…en线性无关;
2〕xX, x都能由e1,e2,…,en线性表示，即1, 2,…, nR, 使x=1x1+2x2+…nxn
那么称e1,e2,…,en为X的一个基底, x1,x2,…,xn为向量关于基底e1,e2,…,en的坐标。称n维线性空间X的维数，而称X为n维线性空间。并记dimX=n。
注：1) 如果X={}, 那么称X是零维线性空间, 这时X没有基。
3 线性空间的基与维数
设X是线性空间, e1,e2,…,enX, 如果
2)xX, 它关于基底e1,e2,…,en的坐标是唯一的。
3) 任何有限维线性空间的基底都不唯一。n维线性空间中的任何n个线性无关的向量都可以作为X的基底。
定义4 (无限维线性空间的基)
1〕e1,e2,…,en,…线性无关;
2〕xX, x都能由e1,e2,…,en,…线性表示，即1, 2,…, n,…R, 使x=1e1+2e2+…nen+…
那么称e1,e2,…,en,…为X的一个基底, x1,x2,…,xn,…为向量关于基底e1,e2,…,en,…的坐标。也称X为无限维线性空间。
设X是线性空间, e1,e2,…,en,…X, 如果
注：1〕任何线性空间X