五年级奥数-整除问题.docx

五年级奥数-整除问题
五年级奥数-整除问题
五年级奥数-整除问题
五年级思维第二讲
基础知识：
1.
整除的定义、性质
、
、
c 是整数并且 b
0 ， a
b=c 则称 a 能被 b 整除
.定义：如果 a b
或者 b 能整除 a，记做 b a ，否则称为 a 不能被 b 整除或者 b 不能整除 a，记做 b | a .
性质 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么他们的和与差也能被
c 整除 .
性质 2：如果 b 与 c 的乘积能够整除
a，那么 b、 c 都能整除 a.
性质 3：如果 b
、
、
、
c 都能整除 a，并且 b c 互质，那么
b c 的乘积也能够整除 a.
性质 4：如果 c 能整除 b， b 能整除 a，那么 c 能整除 a.
性质 5：如果 b 和 c 的乘积能够被
a 整除，并且 a，b 互质，那么 c 能够被 a 整除 .
2.
被 2（ 5）整除特征：以 2,4,6,8,0（ 5,0）结尾 .
3.
被 3， 9 整除特征：数字和被 3,9 整除 .
被 4（ 25）整除的特征：后 2 位能被 4（ 25）整除；被 8（125）整除的特征：后 3 位能被 8（ 125）整除 .
5.
被 11 整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被
11 整除 . （“奇偶位差法” ） .
6.
被 7、 11、 13 整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被
7、 11、 13 整除 .
7.
整除性质、特征的综合应用，末尾
0 的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.
例题：
例 1、如果六位数 2012□□ 能够被 105 整除，那么后两位数是多少？
解：设六位数为 2012????，105=3×5 ×7，依次考虑被 3,5,7 整除得到 3∣a+b -1，b= 0 或
5, 7∣(10a+b- 1)，得到唯一解 a= 8,b= 85.
例 2、求所有的 x， y 满足 32??5??使得 72∣32??5??.
解： 72=8 ×9，根据整除 9 性质易得 x+y=8 或 17，根据整除 4 的性质 y=2 或 6，分别可
以得到 5 位数 32652、 32256，检验可知只有
32256 满足题意 .
例 3、一本陈年旧账上写的：购入
143 只羽毛球共花费 □ □ 元，其中 □ 处字迹已经模
糊不清，请你补上 □ 中的数字并且算出每只羽毛球的单价.
、
，
根据
，
有 a+b =8
，
解：设两个 □ 处的数字分别是 a b，则有 143∣??679??
11∣??679??
再根据 13∣??679??，所以 13∣(100a+67-90-b)，再根据 a+b =8 得到 13∣（ 10a-5）解得 a=7 b=1