变换和置换群.ppt

变换群和置换群
离散数学 第15讲
1
最新课件
上一讲内容的回顾
不变子群
商群
同态核
自然同态
群同态基本定理
同态基本定理的应用
2
最新课件
变换群与置换群
变换和变换群
置换及其表示
置换群
任意群与变换群同构
置换群的应用
3
最新课件
变换和变换群
定义：A是非空集合，f:AA称为A上的一个变换。
经常讨论的是一一变换，即f是双射。
变换就是函数，变换的“乘法”就是函数复合运算。
集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群称为变换群。
4
最新课件
非空集合上所有的一一变换构成群
设A是任意的非空集合，A上所有的一一变换一定构成群。
封闭性：双射的复合仍是双射。
结合律：变换乘法是关系复合运算的特例。
单位元：f:AA, xA, f(x)=x满足对于任意g:AA, f◦g=g◦f=g (恒等变换)
逆元素：任意双射g:AA均有反函数g -1:AA, 即其逆元素。
5
最新课件
变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合：
fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
则G是变换群。
封闭性： fa,b, fc,d G, fa,b◦fc,d =fac,bc+d ( 注意：fc,d (fa,b(x)) = fc,d(ax+b) = acx+bc+d, 例如：f2,1(x)=2x+1, f1,2(x)=x+2, f1,2(f2,1(x))= 2x+3, 即f2,1◦f1,2 = f2,3 )
结合律：变换的乘法即关系复合运算
单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元
逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此f1/a,-b/a是fa,b 的逆元素。(注意：a0)
6
最新课件
置换及其表示
定义：有限集合S上的双射:SS称为S上的n元置换
记法：
7
最新课件
置换的例子
例子：集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记为S3 ：
S3是最小的非交换群
注意：质数阶群一定是可交换群。
8
最新课件
轮换与对换
定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且：
(i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且xS, xij j=1,2,…,k, (x)=x, 则称是S上的一个k阶轮换，当k=2, 也称为对换。
记法：(i1 i2 … ik )
例子：用轮换形式表示S3的6个元素：
e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
=(2 3); =(1 3); =(1 2)
9
最新课件
不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换：
 =(i1 i2 … ik ),  =(j1 j2 … js ),
若{i1, i2, …, ik}  {j1, j2, …, js}=，则称  与  不相交
若 与  不相交，则 = 
对任意xS, 分三种情况讨论：
x{i1, i2, …, ik};
x{j1, j2, …, js};
xS-({i1, i2, …, ik}{j1, j2, …, js})，
均有(x) = (x)
10
最新课件