MIT牛人解说数学体系.doc

MIT牛人解说数学体系
在过去一年中，我始终在数学海洋中游荡，research进展不多，对于数学世界阅历算是有了某些长进。
为什么要进一步数学世界
作为计算机学生，我没有任何企图要成为一种数学家。我学****数学目，是要
想爬上巨人肩膀，但愿站在更高高度，能把我自己研究东西看得更深广某些。说起来，我在刚来这个学校时候，并没有预料到我将会有一种进一步数学旅
程。我导师最初但愿我去做题目，是对appearance和motion建立一种unifiedmodel。这个题目在当今Computer
Vision中百花齐放世界中并没有任何特别地方。事实上，使用各种Graphical
Model把各种东西联合在一起framework，在近年论文中并不少见。
我不否认当前广泛流行Graphical
Model是对复杂现象建模有力工具，但是，我以为它不是panacea，并不能取代对于所研究问题进一步钻研。如果记录学****包治百病，那么诸多
“下游”学科也就没有存在必要了。事实上，开始时候，我也是和Vision中诸多人同样，想着去做一种Graphical
Model——我导师指出，这样做法只是重复某些原则流程，并没有很大价值。通过很长时间重复，此外一种途径慢慢被确立下来——咱们相信，一种
图像是通过大量“原子”某种空间分布构成，原子群运动形成了动态可视过程。微观意义下单个原子运动，和宏观意义下整体分布变换存在着深刻
联系——这需要咱们去发掘。
在进一步摸索这个题目过程中，遇到了诸多诸多问题，如何描述一种普通运动过程，如何建立一种稳定并且广泛合用原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换联系，尚有诸多。在这个过程中，我发现了两个事情：
我原有数学基本已经远远不能适应我对这些问题进一步研究。
在数学中，有诸多思想和工具，是非常适合解决这些问题，只是没有被诸多应用科学研究者注重。
于是，我决心开始进一步数学这个浩瀚大海，但愿在我再次走出来时候，我已有了更强大武器去面对这些问题挑战。
我游历并没有结束，我视野相比于这个博大精深世界仍旧显得非常狭窄。在这里，我只是说说，在我眼中，数学如何一步步从初级向高档发展，更高档别数学对于详细应用究竟有何好处。

集合论：当代数学共同基本
当代数学有数不清分支，但是，它们均有一种共同基本——集合论——由于
它，数学这个庞人们族有个共同语言。集合论中有某些最基本概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价
(equivalence)，是在其他数学分支语言中几乎必然存在。对于这些简朴概念理解，是进一步学些别数学基本。我相信，理工科大学生对于
这些都不会陌生。
但是，有一种很重要东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选取公理” (Axiom of
Choice)。这个公理意思是“任意一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一种元素。”——似乎是显然得不能再显然命题。但是，这个貌似寻常
公理却能演绎出某些比较奇怪结论，例如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一种球，能提成五个某些，对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后，能组合成两个同样大小球”。正由于这些完全有悖常识结论，导致数学界曾经在相称长时间里对于与否接受它有着激烈争论。当前，主流数学家对于它应当是基本接受，由于诸多数学分支重要定理都依赖于它。在咱们背面要回说到学科里面，下面定理依赖于选取公理：
拓扑学：Baire Category Theorem
实分析（测度理论）：Lebesgue 不可测集存在性
泛函分析四个重要定理：Hahn-Banach Extension Theorem，Banach-Steinhaus Theorem (Uniform
boundedness principle)，Open Mapping Theorem，Closed Graph Theorem
在集合论基本上，当代数学有两人们族：分析(Analysis)和代数(Algebra)。至于其他，例如几何和概率论，在古典数学时代，它们是和代数并列，但是它们当代版本则基本是建立在分析或者代数基本上，因而从当代意义说，它们和分析与代数并不是平行关系。

分析：在极限基本上建立宏伟大厦
微积分：分析古典时代——从牛顿到柯西
先说说分析(Analysis)吧，它是从微积分(Caculus)发展起来
——这也是有些微积分教材名字叫“数学分析”因素。但是，分析范畴远不只是这些，咱们在大学一年级学****微积分只能算是对古典分析入门。分析研究
对象诸多，涉及导数(derivatives)，积分(integral)，微分方程(differ