直线圆锥曲线与向量的综合问题.doc

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直线圆锥曲线与向量的综合问题
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知识要点：
1．直线与圆锥曲线的公共点的情况
（1）没有公共点 方程组无解 （2）一个公共点
（3）两个公共点
2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：
3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题

 （1） 给出直线的方向向量或；
 （2）给出与相交,等于已知过的中点;
 （3）给出,等于已知是的中点;
 （4）给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;
 （5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.
 （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
 （8）给出,等于已知是的平分线。
 （9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
 （10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
 （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
 （13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
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 （14）在中，给出等于已知通过的内心；
 （15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
 （16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;
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主要题型：
1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；
4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。
近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为
（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
特别提醒：D法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。
高考真题
1. [2012·上海卷] 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．．arctan2　[解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率．
由已知可得直线的斜率k×＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2.
2.[2012·重庆卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
图1－3
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故
S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.
由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.
因此所求椭圆的标准方程为：
＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x＝my－(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此
y1＋y2＝，y1·y2＝－，
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又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以
·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16
＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的